Cho ba điểm A(- 2; 2), B(7; 5), C(4; - 5) và đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0

Bài 32 trang 74 SBT Toán 10 Tập 2: Cho ba điểm A(- 2; 2), B(7; 5), C(4; - 5) và đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0.

a) Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ và cách đều hai điểm A và B.

b*) Tìm tọa độ điểm N thuộc ∆ sao cho $\left|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right|$  có giá trị nhỏ nhất.

Trả lời

a) Do M thuộc đường thẳng ∆ nên M(t; 4 – 2t).

Suy ra $\overrightarrow{AM}=\left(t+2;2-2t\right)$  và $\overrightarrow{BM}=\left(t-7;-1-2t\right)$ .

Do M cách đều 2 điểm A, B nên MA = MB.

Hay  $\left|\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{BM}\right|$

$\iff \sqrt{{\left(t+2\right)}^2+{\left(2-2t\right)}^2}=\sqrt{{\left(t-7\right)}^2+{\left(-1-2t\right)}^2}$

⇔ 5t² – 4t + 8 = 5t² – 10t + 50

⇔ 6t = 42

⇔ t = 7

Vậy M(7; -10).

b) Do N thuộc đường thẳng ∆ nên N(m; 4 – 2m).

Suy ra $\overrightarrow{NA}=\left(-2-m;2m-2\right)$ , $\overrightarrow{NB}=\left(7-m;2m+1\right)$  và  $\overrightarrow{NC}=\left(4-m;2m-9\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\left(9-3m;6m-10\right) \\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right|=\sqrt{{\left(9-3m\right)}^2+{\left(6m-10\right)}^2} \end{gathered}$$

Gọi  $A={\left(9-3m\right)}^2+{\left(6m-10\right)}^2$

$A=45m^2-174m+181=45{\left(m-\frac{29}{15}\right)}^2+\frac{64}{5}\ge \frac{64}{5}$

Suy ra GTNN của $\left|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right|$ là $\frac{8}{\sqrt{5}}$  đạt được khi  $m=\frac{29}{15}$

Hay  $N\left(\frac{29}{15};\frac{2}{15}\right)$.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 1: Tọa độ của vectơ

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic