Cho đường thẳng d cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm C, D. M là một điểm thuộc d và nằm ngoài (O; R) (MC < MD). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O; R). H là trung điểm của CD. Đường thẳng AB cắt OH tại E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của (O; R).
Ta có MA, MB là tiếp tuyến của (O).
Suy ra MA = MB và MO là tia phân giác của \[\widehat {AMB}\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Khi đó tam giác AMB cân tại A có MO là đường phân giác.
Vì vậy MO cũng là đường cao của tam giác AMB.
Suy ra MO ⊥ AB tại I.
Ta có H là trung điểm CD (giả thiết).
Suy ra OH ⊥ CD tại H (quan hệ đường kính và dây cung).
Xét ∆OHM và ∆OIE, có:
\(\widehat {OHM} = \widehat {OIE} = 90^\circ \);
\(\widehat {MOE}\) chung.
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{OH}}{{OI}} = \frac{{OM}}{{OE}}\).
Vì vậy OH.OE = OM.OI.
Tam giác AOM vuông tại A (vì AM là tiếp tuyến của (O)) có AI là đường cao:
OA2 = OI.OM (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Suy ra OD2 = OH.OE.
Xét ∆ODH và ∆OED, có:
\(\widehat {DOE}\) chung;
\(\frac{{OD}}{{OE}} = \frac{{OH}}{{OD}}\) (OD2 = OH.OE).
Do đó (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {OHD} = 90^\circ \) (cặp góc tương ứng).
Vậy ED là tiếp tuyến của (O; R).