Cho các số thực x, y (x + y khác 0). Chứng minh rằng: x^2 + y^2 + (1 + xy)
Cho các số thực x, y (x + y khác 0). Chứng minh rằng: x2 + y2 + \({\left( {\frac{{1 + xy}}{{x + y}}} \right)^2}\)≥ 2.
Đặt z = \( - \frac{{1 + xy}}{{x + y}}\)
Ta có: xy + yz + zx = –1
Bất đẳng thức ban đầu trở thành:
x2 + y2 + z2 ≥ 2
⇔ x2 + y2 + z2 ≥ –2 (xy + yz + zx)
⇔ x2 + y2 + z2 + 2 (xy + yz + zx) ≥ 0
⇔ (x+y+z)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy x2 + y2 + \({\left( {\frac{{1 + xy}}{{x + y}}} \right)^2}\)≥ 2.