Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 4 và xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \(\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\).

Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y + z = 4 - x\\yz = 5 - x\left( {4 - x} \right)\end{array} \right.\) 

Suy ra (4 – x)² ≥ 4[5 − x(4 − x)] ⇔ 3x² − 8x + 4 ≤ 0⇔ \(\frac{2}{3}\) ≤ x ≤ 2.

Mặt khác (x³ + y³ + z³) = (x + y + z).(x² + y² + z² – xy – yz – zx) + 3xyz

= 4((x + y + z)² − 3(xy + yz + zx)) + 3xyz = 4 + 3xyz

Suy ra P = \(\left( {4 + 3xyz} \right)\frac{{xy + yz + zx}}{{xyz}}\)\( = \frac{{20}}{{xyz}} + 15\) \( = \frac{{20}}{{{x^3} - 4{x^2} + 5x}} + 15\) 

Xét hàm f(x) = x³ − 4x² + 5x trên \(\left[ {\frac{2}{3};2} \right]\) ta có

f '(x) = 3x² - 8x + 5, f '(x) = 0 ⇔ x = 1, x = \(\frac{5}{3}\)

và f(1) = f(2) = 2, \(f\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{{50}}{{27}}\); \(f\left( {\frac{5}{3}} \right) = \frac{{50}}{{27}}\)

Suy ra 0 < f(x) ≤ 2 với mọi x ∈ \(\left[ {\frac{2}{3};2} \right]\).

Do đó P ≥ 25

Dấu “=” xảy ra khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 25, đạt được khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.