Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[d(BD;SC) = OK = \frac{1}{2}d(A;SC) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}\]

Ta có: \[2{x^2} + xy + 2{y^2} = \frac{3}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\]

\[ = \frac{3}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{1}{2}{\left( {x + y} \right)^2}\]

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

(x² + y²)(1 + 1) ≥ (x + y)²

Û 2(x² + y²) ≥ (x + y)²  

\[ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge \frac{3}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{1}{2}{\left( {x + y} \right)^2} \ge \frac{5}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow 2{x^2} + xy + 2{y^2} \ge \frac{5}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + xy + 2{y^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}\left( {x + y} \right)\]

Chứng minh tương tự, ta có:

• \[\sqrt {2{y^2} + yz + 2{z^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}\left( {y + z} \right)\]

• \[\sqrt {2{z^2} + xz + 2{x^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}\left( {x + z} \right)\]

Do đó: \[P = \sqrt {2{x^2} + xy + 2{y^2}} + \sqrt {2{y^2} + yz + 2{z^2}} + \sqrt {2{z^2} + xz + 2{x^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(2x + 2y + 2z)\]

Suy ra \[P \ge \sqrt 5 (x + y + z) = \sqrt 5 \]

Dấu “=” xảy ra khi \[x = y = z = \frac{1}{3}\].

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \[\sqrt 5 \] khi \[x = y = z = \frac{1}{3}\].