Cho biểu thức M = (x^4 + 2) / (x^6 + 1) + (x^2 - 1) / (x^4 - x^2 + 1) - (x^2 + 3)
7
11/07/2024
Cho biểu thức \(M = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^6} + 1}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 3}}\)
1. Rút gọn M
2. Tìm x để M ≥ 1
3. Tìm GTLN của biểu thức M
Trả lời
1.
\(M = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^6} + 1}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 3}}\)
\( = \frac{{{x^4} + 2}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^4} + 2 + \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}} - \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)
\( = \frac{{{x^4} + 2 + {x^4} - 1 - {x^4} + {x^2} - 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^2}}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}\)
2.
M ≥ 1
\(\frac{{{x^2}}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} \ge 1\)
\({x^2} \ge {x^4} - {x^2} + 1\)
\({x^4} - 2{x^2} + 1 \le 0\)
\({\left( {{x^2} - 1} \right)^2} \le 0\)
\({x^2} - 1 = 0\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1(tm)\\x = - 1(tm)\end{array} \right.\)
Vậy x = 1 và -1
3. \(\)\(M = \frac{{{x^2}}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}\)
Mx4 – Mx2 + M = x2
Mx4 – (M + 1)x2 + M = 0
(M + 1)2 – 4M2 ≥ 0
M2 + 2M + 1 – 4M2 ≥ 0
3M2 – 2M – 1 ≤ 0
(3M2 + 1)(M – 1) ≤ 0
⇒ M ≤ 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M bằng 1 khi và chỉ khi x = 1.