Cho biểu thức: \(A = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{{x^3} - x}}\) (x ∉ {0; 1; −1})

a) Rút gọn biểu thức.

b) Tìm x để biểu thức A = 2.

c) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức là một số nguyên.

Điều kiện x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1

a) Với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1, ta có:

 \(A = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{{x^3} - x}}\)

\( = \frac{{x({x^2} + 2x + 1)}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

b) Với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1, ta có:

\(A = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 2\)

⇔ x + 1 = 2x – 2

⇔ x = 3 (TMĐK)

Vậy với x = 3 thì A = 2.

c) \(A = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{(x - 1) + 2}}{{x - 1}} = 1 + \frac{2}{{x - 1}}\)

Để A nguyên thì 2 \( \vdots \) (x – 1)

⇒ (x – 1) ∈ Ư(2)

Mà Ư(2) = {1; −1; 2; −2}

⇒ x ∈ {2; 0; 3; −1}

Kết hợp với điều kiện x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 ta có: x ∈ {2; 3}.