Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{y + z}} + \frac{1}{{z + x}}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: \(P = \frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{y + z}} + \frac{1}{{z + x}}\).

\( \ge \frac{9}{{x + y + y + z + z + x}} = \frac{9}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = \frac{9}{{2.3}} = \frac{3}{2}\).

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng \(\frac{3}{2}\) khi và chỉ khi x = y = z.