Cho ∆ABC và điểm M thỏa mãn \[\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {CM} \]. F là một phép dời hình. Gọi A₁ = F(A), B₁ = F(B), C₁ = F(C), M₁ = F(M). Biết AB = 4, BC = 5, AC = 6. Tính độ dài đoạn A₁M₁.

Ta có: AM = A₁M₁

Từ \[\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {CM} \Leftrightarrow \,\overrightarrow {AM} - \,\overrightarrow {AB} = 2\left( {\overrightarrow {AM} - \,\overrightarrow {AC} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \]

\[ \Rightarrow A{M^2} = 4A{C^2} + A{B^2} - 4\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \] (*)

Lại có: \[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \Rightarrow B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \]

\[ \Rightarrow 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}\]

Thay vào (*) ta có:

AM² = 4AC² + AB² – 2(AC² + AB² – BC²)

AM² = 2AC² – AB² + 2BC² = 2.6² – 4² + 2.5² = 106

\[AM = \sqrt {106} \approx 10,3\,\,(cm)\]

Vậy AM = 10,3 cm.