Cho A = n⁴ + 2n³ – 16n² – 2n + 15 với n là số nguyên. Tìm điều kiện của n để A chia hết cho 16.

A = n⁴ + 2n³ – 16n² – 2n + 15 với n ∈ ℤ.

Vì n ∈ ℤ nên ta xét hai trường hợp.

TH1: n chẵn

\( \Rightarrow \) A = n⁴ + 2n³ – 16n² – 2n + 15 là một số lẻ.

Suy ra A không chia hết cho 16. (loại)

TH2: n lẻ

\( \Rightarrow \) A = n⁴ + 2n³ – 16n² – 2n + 15

= (n⁴ – n²) + (2n³ – 15n² – 2n + 15)

= n²(n² – 1) + [n²(2n – 15) – (2n – 15)]

= n²(n² – 1) + (n² – 1)(2n – 15)

= (n² – 1)(n² + 2n – 15)

= (n – 1)(n + 1)(n − 3)(n + 5).

Do n là một số lẻ nên n – 1; n + 1; n – 3; n + 5 đều là các số chẵn.

\( \Rightarrow \) A = (n – 1)(n + 1)(n – 3)(n + 5) chia hết cho (2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 = 16)

Vậy với n là số lẻ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.