Cho a lớn hơn 0 và b lớn hơn 0. Chứng minh rằng ( 1/a+ 1/b) ( a+b) lơn hơn bằng 4

Cho a lớn hơn 0 và b lớn hơn 0. Chứng minh rằng  _{$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge 4$}

Trả lời

_{$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge 4$}

_{$\iff 1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge 4$}

_{$\iff \frac{b^2+a^2}{ab}\ge 2$}

Vì a > 0 và b > 0  ⇒ ab > 0

Vậy $\frac{b^2+a^2}{ab}\ge 2\iff b^2+a^2\ge 2ab$

$\iff {\left(a-b\right)}^2\ge 0$.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.