Cho a khác b khác c thỏa mãn a^2(b + c) = b^2(c + a) = 2012. Tính M = c^2(a + b)
Cho a ≠ b ≠ c thỏa mãn a2(b + c) = b2(c + a) = 2012. Tính M = c2(a + b).
Ta có a2(b + c) = b2(c + a).
⇔ a2b – ab2 + a2c – b2c = 0.
⇔ ab(a – b) + c(a2 – b2) = 0.
⇔ ab(a – b) + c(a – b)(a + b) = 0.
⇔ (a – b)(ab + ca + bc) = 0 (vì a ≠ b nên a – b ≠ 0).
⇔ ab + bc + ca = 0.
Lại có a2(b + c) = b2(c + a).
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{c + a}} = \frac{{{b^2}}}{{b + c}}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{{{a^2}}}{{c + a}} = \frac{{{b^2}}}{{b + c}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{c + a - b - c}} = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}{{a - b}} = a + b\) (a ≠ b).
⇒ a2 = (a + b)(a + c).
⇒ a2(b + c) = (a + b)(a + c)(b + c).
⇒ 2012 = (a + b)(ab + ac + bc + c2).
⇒ 2012 = (a + b)c2.
Vậy M = c2(a + b) = 2012.