Cho a, b dương và a²⁰¹⁰ + b²⁰¹⁰ = a²⁰¹¹ + b²⁰¹¹ = a²⁰¹² + b²⁰¹². Tính S = a²⁰¹³ + b²⁰¹⁴.

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

a²⁰¹⁰ + b²⁰¹⁰ + a²⁰¹² + b²⁰¹² ≥ \(2\sqrt {{a^{2010 + 2012}}} + 2\sqrt {{b^{2010 + 2012}}} = 2{a^{2011}} + 2{b^{2011}}\)

Dấu “=” xảy ra khi

\(\left\{ \begin{array}{l}{a^{2010}} = {a^{2012}}\\{b^{2010}} = {b^{2012}}\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\)

S = a²⁰¹³ + b²⁰¹⁴ = 1 + 1 = 2.