Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:

\(\frac{{ab}}{{a + b - c}} + \frac{{bc}}{{b + c - a}} + \frac{{ca}}{{c + a - b}} \ge a + b + c\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b - c = x\\b + c - a = y\\c + a - b = z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2b\\y + z = 2c\\z + x = 2a\end{array} \right.\)

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên x; y; z > 0

Ta có: \[A = \frac{{ab}}{{a + b - c}} + \frac{{bc}}{{b + c - a}} + \frac{{ca}}{{c + a - b}}\]

\[ \Rightarrow 4A = \frac{{2a\,.\,2b}}{{a + b - c}} + \frac{{2b\,.\,2c}}{{b + c - a}} + \frac{{2c\,.\,2a}}{{c + a - b}}\]

\[ = \frac{{\left( {z + x} \right)\left( {x + y} \right)}}{x} + \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}{y} + \frac{{\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}{z}\]

\[ = 3\left( {x + y + z} \right) + \left( {\frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y} + \frac{{xy}}{z}} \right)\]

\[ \ge 3\left( {x + y + z} \right) + \frac{{\left( {x + y + z} \right)xyz}}{{xyz}}\]

= 4(x + y + z) = 4(a + b + c)

Do a; b; c > 0 nên suy ra A ≥ a + b + c (đpcm).