Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh \[\frac{1}{{2 + a}} + \frac{1}{{2 + b}} + \frac{1}{{2 + c}} \le 1\].

Ta có: \[\frac{1}{{2 + a}} + \frac{1}{{2 + b}} + \frac{1}{{2 + c}} \le 1\]

⇔ (b + 2)(c + 2) + (a + 2)(c + 2) + (a + 2)(b + 2) ≤ (a + 2)(b + 2)(c + 2)

⇔ ab +bc + ca + 4(a + b + c) + 12 ≤ abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) + 8

⇔ ab + bc + ca + 4(a + b + c) + 12 ≤ 1 + 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) + 8

⇔ ab + bc + ca ≥ 3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có:

\[ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} \ge 3\]

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.