Cho a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 1

Chứng minh rằng: \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \) < 5.

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

\[\frac{{4a + 1 + 1}}{2} \ge \sqrt {4a + 1} \Leftrightarrow 2a + 1 \ge \sqrt {4a + 1} \]

Mà a > 0 nên: \[2a + 1 > \sqrt {4a + 1} \]

Tương tự ta có: \[2b + 1 > \sqrt {4b + 1} \]; \[2c + 1 > \sqrt {4c + 1} \]

Suy ra: 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 > \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \)

⇔ 3 + 2(a + b + c) > \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \)

⇔ 5 > \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \).