Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\) là bình phương của một số hữu tỉ.

Ta có \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} - 2\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right)\)

\( = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} - 2.\frac{{c + a + b}}{{abc}} = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} - 2.\frac{0}{{abc}} = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2}\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.