Cho a,b,c là các số dương thoả mãn ab + bc + ac = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{\sqrt {{a^2} + 1} .\sqrt {{b^2} + 1} }}{{\sqrt {{c^2} + 1} }} + \frac{{\sqrt {{b^2} + 1} .\sqrt {{c^2} + 1} }}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} + \frac{{\sqrt {{c^2} + 1} .\sqrt {{a^2} + 1} }}{{\sqrt {{b^2} + 1} }}\].

Với ab + bc + ca = 1 và a, b, c > 0, ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{a^2} + 1} = \sqrt {(a + b)(a + c)} }\\{\sqrt {{b^2} + 1} = \sqrt {(b + c)(b + a)} }\\{\sqrt {{c^2} + 1} = \sqrt {(c + a)(c + b)} }\end{array}} \right.\]

Do đó:

• \[\frac{{\sqrt {{a^2} + 1} .\sqrt {{b^2} + 1} }}{{\sqrt {{c^2} + 1} }} = a + b\]

• \[\frac{{\sqrt {{b^2} + 1} .\sqrt {{c^2} + 1} }}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = b + c\]

\[\frac{{\sqrt {{c^2} + 1} .\sqrt {{a^2} + 1} }}{{\sqrt {{b^2} + 1} }} = c + a\]

Þ P = 2(a + b + c)

Þ P² = 4(a + b + c)² ≥ 4. 3(ab + bc + ca)

Hay P² ≥ 12

\[ \Leftrightarrow P \ge 2\sqrt 3 \]

Dấu “=” xảy ra khi \[a = b = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[P = 2\sqrt 3 \] khi \[a = b = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\].