Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a, b > 0, ta được: (a + b)² ≥ 4ab.

\( \Leftrightarrow \frac{{ab}}{{a + b}} \le \frac{{a + b}}{4}\)   (1)

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ \(\frac{{bc}}{{b + c}} \le \frac{{b + c}}{4}\)    (2)

⦁ \(\frac{{ac}}{{a + c}} \le \frac{{a + c}}{4}\)    (3)

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được \(P \le \frac{{a + b}}{4} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{{a + c}}{4} = \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{4} = \frac{1}{2}\).

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c.

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng \(\frac{1}{2}\) khi và chỉ khi a = b = c.