Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh:

\(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}\).

Ta có: \(VT = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}}\)

\( = \frac{a}{{b + c}} + 1 + \frac{b}{{a + c}} + 1 + \frac{c}{{a + b}} + 1 - 3\)

\( = \frac{{a + b + c}}{{b + c}} + \frac{{b + c + a}}{{c + a}} + \frac{{a + b + c}}{{a + b}} - 3\)

\( = (a + b + c)\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) - 3\)

\( = \frac{1}{2}[(a + b) + (b + c) + (c + a)]\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) - 3\)

Ta chứng minh BĐT phụ:

\(\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge 9\) (với a, b, c > 0)

Ta có: \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right)\)

\( = 1 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + 1 + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + 1 + \frac{c}{a} + \frac{c}{b}\)

\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\)\( = 3 + \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) + \left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\); \(\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 2\); \(\frac{a}{c} + \frac{c}{a} \ge 2\).

Suy ra ta có: \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge 3 + 6 = 9\) (*)

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:

\(VT = \frac{1}{2}[(a + b) + (b + c) + (c + a)]\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) - 3\)

\( \Rightarrow VT \ge \frac{1}{2}.9 - 3 = \frac{3}{2}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.