Cho a, b, c là 3 số thực không âm và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng
Cho a, b, c là 3 số thực không âm và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng \(\sqrt {5a + 4} + \sqrt {5b + 4} + \sqrt {5c + 4} \ge 7\).
Vì a, b, c ≥ 0; a + b + c = 1 nên a, b, c ≤ 1.
Suy ra a2 ≤ a; b2 ≤ b, c2 ≤ c.
Khi đó \(\sqrt {5a + 4} + \sqrt {5b + 4} + \sqrt {5c + 4} \)
\( = \sqrt {a + 4a + 4} + \sqrt {b + 4b + 4} + \sqrt {c + 4c + 4} \)\( \ge \sqrt {{a^2} + 4a + 4} + \sqrt {{b^2} + 4b + 4} + \sqrt {{c^2} + 4c + 4} \)
\( = \sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {b + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {c + 2} \right)}^2}} \)
\( = a + 2 + b + 2 + c + 2 = 7\).
Vậy \(\sqrt {5a + 4} + \sqrt {5b + 4} + \sqrt {5c + 4} \ge 7\).
Dấu “=” xảy ra tại a = 1; b = 0; c = 0 và các hoán vị.