Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC. Biết a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b) = 0
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC. Biết a3(b − c) + b3(c − a) + c3(a − b) = 0. Chứng minh: tam giác ABC cân.
a3(b − c) + b3(c − a) + c3(a − b) = 0
Û a3b − a3c + b3c − ab3 + c3(a − b) = 0
Û a3b − a3c + b3c − ab3 + c3(a − b) = 0
Û ab(a2 − b2) − c(a3 − b3) + c3(a − b) = 0
Û ab(a − b)(a + b) − c(a − b)(a2 + ab + b2) + c3(a − b) = 0
Û (a − b)[ab(a + b) − c(a2 + ab + b2) + c3] = 0
Û (a − b)[ab(a + b) − c(a2 + ab + b2) + c3] = 0
Û (a − b)[ab(a + b) − ac(a + b) + b2c + c3] = 0
Û (a − b)[a(a + b)(b − c) − c(b2 − c2)] = 0
Û (a − b)[a(a + b)(b − c) − c(b − c)(b + c)] = 0
Û (a − b)(b − c)[a(a + b) − c(b + c)] = 0
Û (a − b)(b − c)[(a2 − c2) + (ab − bc)] = 0
Û (a − b)(b − c)[(a − c)(a + c) + b(a − c)] = 0
Û (a − b)(b − c)(a − c)(a + b + c) = 0
Þ (a − b)(b − c)(a − c) = 0
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\a - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right.\)
Vậy ABC là tam giác cân.