Cho \(a + b + c = \frac{3}{2}\). Chứng minh rằng: \[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{3}{4}\].

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{3}{4}\]

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{3}{2} - \frac{3}{4}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge a + b + c - \frac{3}{4}\)

 \( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - a - \frac{1}{4}} \right) + \left( {{b^2} - b + \frac{1}{4}} \right) + \left( {{c^2} + b + \frac{1}{4}} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {c - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng với \(\forall a,b,c \in \mathbb{R}\))

Vậy ta có điều phải chứng minh.