Cho a, b,c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của

A = \[\frac{{a + 1}}{{{a^2} + 2a + 2}} + \frac{{b + 1}}{{{b^2} + 2b + 2}} + \frac{{c + 1}}{{{c^2} + 2c + 2}}\].

ab + bc + ca + abc = 2

⇔ (1 + a)(1 + b)(1 + c) = (1 + a) + (1 + b) + (1 + c)

⇔ \[\frac{1}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}} + \frac{1}{{\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}} + \frac{1}{{\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)}} = 1\]

Đặt x = \(\frac{1}{{1 + a}}\); y = \(\frac{1}{{1 + b}}\); z = \(\frac{1}{{1 + c}}\)

Ta có: xy + yz + zx = 1

A = \[\frac{{a + 1}}{{{a^2} + 2a + 2}} + \frac{{b + 1}}{{{b^2} + 2b + 2}} + \frac{{c + 1}}{{{c^2} + 2c + 2}}\]

A = \(\frac{{\frac{1}{x}}}{{\frac{1}{{{x^2}}} + 1}} + \frac{{\frac{1}{y}}}{{\frac{1}{{{y^2}}} + 1}} + \frac{{\frac{1}{z}}}{{\frac{1}{{{z^2}}} + 1}} = \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{y}{{{y^2} + 1}} + \frac{z}{{{z^2} + 1}}\)

A = \[\frac{x}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}} + \frac{y}{{\left( {y + z} \right)\left( {y + z} \right)}} + \frac{z}{{\left( {z + y} \right)\left( {z + x} \right)}} = \frac{{x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\]

A = \(\frac{2}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)

Mà 9(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8 (x + y + z)(xy + yz + zx)

⇔ \(\frac{2}{9}\)x²y + y²z + z²x + xy² + yz² + zx² ≥ 6xyz (đúng theo bất đẳng thức Côsi)

Suy ra:

A ≤ \(\frac{2}{{\frac{8}{9}\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + zx} \right)}} = \frac{9}{{4\left( {x + y + z} \right)}} \le \frac{9}{{4\sqrt 3 }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)

(Vì (x+y+z)² ≥ 3(xy+yz+zx) = 3)

Vậy giá trị lớn nhất của A = \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)khi x = y = z = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Suy ra a = b = c = \(\sqrt 3 - 1\).