Cho a, b, c > 0 thoả mãn \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[P = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\].

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

• \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{2}{{ab}}\]

• \[\frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{2}{{bc}}\]

• \[\frac{1}{{{c^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \ge \frac{2}{{ac}}\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}\]

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Ta có: \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = 9\]

\[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3\]

Mà \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right) \le 3\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 9 \le 3\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\].

Suy ra \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3\]hay P ≥ 3.

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất P = 3 khi a = b = c = 1.