Cho a, b, c > 0 biết (a + c)(b + c) = 4c². Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:

A = \(\frac{a}{{b + 3c}} + \frac{b}{{a + 3c}} + \frac{{ab}}{{bc + ca}}\).

(a + c)(b + c) = 4c²

⇔ \(\left( {\frac{a}{c} + 1} \right)\left( {\frac{b}{c} + 1} \right) = 4\)

Đặt \(\left( {\frac{a}{c};\frac{b}{c}} \right)\)= \(\left( {x;y} \right)\)

Suy ra: xy + x + y = 3.

⇒ 3 ≤ x + y + \(\frac{1}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\)⇒ x + y ≥ 2.

A = \(\frac{x}{{y + 3}} + \frac{y}{{x + 3}} + \frac{{xy}}{{x + y}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + 3\left( {x + y} \right)}}{{xy + 3\left( {x + y} \right) + 9}} + \frac{{xy}}{{x + y}}\)

= \(\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 3\left( {x + y} \right) - 2xy}}{{2\left( {x + y} \right) + 12}} + \frac{{3 - \left( {x + y} \right)}}{{x + y}} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 5\left( {x + y} \right) - 6}}{{2\left( {x + y} \right) + 12}} + \frac{3}{{x + y}} - 1\)

Đặt x + y = t ⇒ 2 ≤ t < 3.

Khi ấy: A = \(\frac{{{t^2} + 5t - 6}}{{2t + 12}} + \frac{3}{t} - 1 = \frac{t}{2} + \frac{3}{t} - \frac{1}{2} \ge 2\sqrt {\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 - 1}}{2}\)

Giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{{\sqrt 6 - 1}}{2}\) khi t = \(\sqrt 6 \).

A = \(\frac{{{t^2} + 6}}{{2t}} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{t^2} - 5t + 6}}{{2t}}} \right) + 2 = \frac{{\left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right)}}{{2t}} + 2\)

Mà 2 ≤ t < 3 ⇒ (t – 2)(t – 3) ≤ 0.

Suy ra: A ≤ 2

Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi t = 2.