Cho a, b > 0 và a + b = 4. Tìm GTLN của \(P = \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\left( {1 - \frac{1}{b}} \right)\).

Do a, b > 0 nên \(1 - \frac{1}{a} > 0\); \(1 - \frac{1}{b} > 0\)

Áp dụng BĐT:

\(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {(x - y)^2} \ge 0\) (luôn đúng)

\(P = \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\left( {1 - \frac{1}{b}} \right)\) \( \le \frac{1}{4}{\left( {1 - \frac{1}{a} + 1 - \frac{1}{b}} \right)^2} = \frac{1}{4}{\left[ {2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)} \right]^2}\)

Chứng minh BĐT \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\) (1)

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{{x + y}}{{xy}}} \right)\left( {x + y} \right) \ge 4\)

⇔ (x + y)² ≥ 4xy

⇔ (x – y)² ≥ 0 (luôn đúng)

Khi đó: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}} = \frac{4}{4} = 1\)

⇒ \(2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \le 2 - 1 = 1\)

\( \Rightarrow \frac{1}{4}{\left[ {2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)} \right]^2} \le \frac{1}{4}.1 = \frac{1}{4}\)

Vậy \({P_{\max }} = \frac{1}{4}\) khi a = b = 2.