Cho A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰. Chứng minh: A chia hết cho 3, 7, 105

a) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

= (2 + 2²) + 2²(2 + 2²) + ... + 2⁵⁸(2 + 2²)

= (2 + 2²)(1 + 2² + ... + 2⁵⁸)

= 6(1 + 2² + ... + 2⁵⁸) ⋮ 3

Vậy A ⋮ 3.

b) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

= (2 + 2² + 2³) + 2³(2 + 2² + 2³) + ... + 2⁵⁷(2 + 2² + 2³)

= (2 + 2² + 2³)(1 + 2³ + ... + 2⁵⁷)

= 14(1 + 2² + ... + 2⁵⁸) ⋮ 7

Vậy A ⋮ 7.

c) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + (2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 259 + 2⁶⁰)

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2⁵⁶(2 + 2² + 2³ + 2⁴)

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴)(1 + 2⁴ + ... + 2⁵⁶)

= 30(1 + 2⁴ + ... + 2⁵⁶) ⋮ 15

Vì (15, 7) = 1 nên A chia hết cho 7 × 15

Vậy A ⋮ 105.