Cho A = 1 + 10 + 10² + 3³ + … + 10²⁰⁰. Tìm số dư khi chia A cho 111.

A = 1 + 10 + 10² + 3³ + … + 10²⁰⁰

= (1 + 10 + 10²) + (10³ + 10⁴ + 10⁵) + .... + (10¹⁹⁸ + 3¹⁹⁹ + 3²⁰⁰)

= (1 + 10 + 10²) + 10³(1 + 10 + 10²) +.... + 10¹⁹⁸(1 + 10 + 10²)

= (1 + 10 + 10²)(1 + 10³ + .... + 10¹⁹⁸)

= 111(1 + 10³ + .... + 10¹⁹⁸)

Vì 111 chia hết cho 111 và (1 + 10³ + .... + 10¹⁹⁸) ∈ ℕ^*

Nên 111(1 + 10³ + .... + 10¹⁹⁸) chia hết cho 111

Vậy A chia hết cho 111.