Cho 2 số dương x, y thay đổi thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của biểu thức:\(M = \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{{2x + y}}\).

Ta có: \(M = \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{{2x + y}} = \frac{{2x + y}}{{xy}} + \frac{3}{{2x + y}}\)

\( = \frac{{2x + y}}{2} + \frac{3}{{2x + y}} = \left( {\frac{3}{8}\,.\,\frac{{2x + y}}{2} + \frac{3}{{2x + y}}} \right) + \frac{5}{8}\,.\,\frac{{2x + y}}{2}\)

Áp dụng BĐT AM – GM ta có:

\(\frac{3}{8}\,.\,\frac{{2x + y}}{2} + \frac{3}{{2x + y}} \ge 2\sqrt {\frac{3}{8}\,.\,\frac{{2x + y}}{2}\,.\frac{3}{{2x + y}}} = \frac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(\frac{3}{8}\,.\,\frac{{2x + y}}{2} = \frac{3}{{2x + y}} \Rightarrow 2x + y = 4\) (do x; y > 0)

Lại có: \(\frac{5}{8}\,.\,\frac{{2x + y}}{2} \ge \frac{5}{8}\sqrt {2xy} = \frac{5}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2x = y và xy = 2

Do đó: \(M \ge \frac{3}{2} + \frac{5}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = 1; y = 2

Vậy GTNN của M là \(\frac{{11}}{4}\) khi x = 1; y = 2.