Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16 cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng

Bài 2.29 trang 40 SBT Toán 11 Tập 1: Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16 cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ dưới). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu.

Trả lời

Gọi u_n là diện tích hai tam giác được tô màu ở lần thực hiện thứ n.

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ban đầu.

Hai tam giác được tạo thành là các tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng $\frac{1}{2}$ độ dài của hình vuông trước mỗi lần chia.

Ở lần 1 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}$ nên u₁ = $2.\frac{1}{2}.{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2^2}$ và độ dài cạnh hình vuông sau đó là $\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (sử dụng định lí Pythagore).

Ở lần 2 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $u_2=2.\frac{1}{2}.{\left(\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2^3}$.

Ở lần 3 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $u_3=\frac{a^2}{2^4}$.

Cứ tiếp tục như vậy, ta được dãy số (u_n) là cấp số nhân với $u_1=\frac{a^2}{2^2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Với a = 16 cm thì u₁ = $\frac{{16}^2}{2^2}$ = 64 cm.

Vậy tổng diện tích sau năm lần thực hiện là

$S_5=u_1\frac{1-q^5}{1-q}=64.\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^5}{1-\frac{1}{2}}$ = 124 (cm²).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 5: Dãy số

Bài 6: Cấp số cộng

Bài 7: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm