Ta có: $\frac{4^x-{3.2}^{x+1}+8}{2^{x+1}-1}\ge 0\iff \frac{{\left(2^x\right)}^2-{6.2}^x+8}{{2.2}^x-1}\ge 0$. Đặt $2^x=t$, $\left(t>0\right)$

Lập bảng xét dấu của $f\left(t\right)=\frac{t^2-6t+8}{2t-1},$

Từ bảng xét dấu ta có: $f\left(t\right)\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}\frac{1}{2}<t\le 2\\ 4\le t\end{array}\right.$
Nên $\frac{{\left(2^x\right)}^2-{6.2}^x+8}{{2.2}^x-1}\ge 0$
$\iff \left[\begin{array}{c}{2}^x\ge 4\\ \frac{1}{2}<2^x\le 2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x\ge 2\\ -1<x\le 1\end{array}.\right.$
Vậy bất phương trình không có nghiệm nguyên âm.