Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác

Đề bài: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90(cm). Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm của BC. Suy ra I là trung điểm của MN.  Đặt $MN=x,(0<x<90).$

Khi đó ta có: $\frac{MQ}{AI}=\frac{BM}{BI}\iff MQ=\frac{\sqrt{3}}{2}(90-x).$ Gọi R là bán kính của hình trụ $\Rightarrow R=\frac{x}{2\text{π}}.$

Thể tích của khối trụ là: $V=\text{π}{\left(\frac{x}{\text{2π}}\right)}^2\frac{\sqrt{3}}{2}(90-x)=\frac{\sqrt{3}}{8\text{π}}(-x^3+90x^2).$

Xét $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{3}}{8\text{π}}(-x^3+90x^2),$ với $0<x<90.$  Suy ra

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{\sqrt{3}}{8\text{π}}(-3x^2+180x)\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=60\end{array}\right..$

Do đó $\underset{x\in (0;90)}{\text{max}}f\left(x\right)=f\left(60\right)=\frac{13500.\sqrt{3}}{\text{π}}.$