Biểu diễn (3+can2)^5 - (3-can2)^5  dưới dạng a+bcan2  với a, b là các số nguyên

Bài 8.14 trang 74 Toán 10 Tập 2: Biểu diễn (3+can2)^5 - (3-can2)^5  dưới dạng a+bcan2  với a, b là các số nguyên.

Trả lời

Ta có: ${\left(3+\sqrt{2}\right)}^5=3^5+{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^3.{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{10.3}^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^3+\mathrm{5.3.}{\left(\sqrt{2}\right)}^4+{\left(\sqrt{2}\right)}^5$

$=3^5+{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^3.2+{10.3}^2\mathrm{.2.}\sqrt{2}+\mathrm{5.3.4}+4\sqrt{2}$

${\left(3-\sqrt{2}\right)}^5=3^5+{5.3}^4.\left(-\sqrt{2}\right)+{10.3}^3.{\left(-\sqrt{2}\right)}^2+{10.3}^2.{\left(-\sqrt{2}\right)}^3+\mathrm{5.3.}{\left(-\sqrt{2}\right)}^4+{\left(-\sqrt{2}\right)}^5$

$=3^5-{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^3.2-{10.3}^2\mathrm{.2.}\sqrt{2}+\mathrm{5.3.4}-4\sqrt{2}$

Suy ra: ${\left(3+\sqrt{2}\right)}^5-{\left(3-\sqrt{2}\right)}^5=2\left({5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^2.2\sqrt{2}+4\sqrt{2}\right)$

$=2.589\sqrt{2}=1178\sqrt{2}=0+1178\sqrt{2}$. 

Vậy biểu diễn ${\left(3+\sqrt{2}\right)}^5-{\left(3-\sqrt{2}\right)}^5$ dưới dạng $a+b\sqrt{2}$ với a, b là các số nguyên ta được $0+1178\sqrt{2}$.