Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc 60 độ

Bài 4 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc 60°. Trên bờ biển có hai đài quan sát A và B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoảng cách 1km và 2km (Hình 2).

a) Đặt độ dài của MO là x km. Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến A và từ tàu đến B theo x.

b) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến A.

c) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đúng 500m.

Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Trả lời

a) Xét tam giác MOB có:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

MB² = OM² + OB² – 2.OM.OB.cos$\widehat{BOM}$

⇔ MB² = x² + 2² – 2.x.2.cos60°

⇔ MB² = x² + 4 – 2x

⇔ MB = $\sqrt{x^2-2x+4}$ (km).

Ta lại có:

 .

Xét tam giác MOA có:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

MA² = OM² + OA² – 2.OM.OA.cos$\widehat{AOM}$

⇔ MA² = x² + 1² – 2.x.1.cos120°

⇔ MA² = x² + 1 + x

⇔ MA = $\sqrt{x^2+x+1}$ (km).

Vậy MA = $\sqrt{x^2+x+1}$ km và MB = $\sqrt{x^2-2x+4}$ km.

b) Để khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến A thì

$\sqrt{x^2-2x+4}=\frac{4}{5}\sqrt{x^2+x+1}$

⇒ x² – 2x + 4 = $\frac{16}{25}$ (x² + x + 1)

⇒ 25x² – 50x + 100 = 16x² + 16x + 16

⇒ 9x² – 66x + 84 = 0

⇒ x = $\frac{11-\sqrt{37}}{3}$ hoặc x = $\frac{11+\sqrt{37}}{3}$.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy với x = $\frac{11-\sqrt{37}}{3}$ hoặc x = $\frac{11+\sqrt{37}}{3}$ thì khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến A.

c) Đổi 500 m = 0,5 km = $\frac{1}{2}$ km

Để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O 500 m thì

$\sqrt{x^2-2x+4}=x-\frac{1}{2}$

⇔ x² – 2x + 4 = x² – x + $\frac{1}{4}$

⇔ – x = $-\frac{15}{4}$

⇔ x = $\frac{15}{4}$

Vậy x = $\frac{15}{4}$ thì khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O 500 m.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp