A = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + + 4^11. Chứng minh rằng A chia hết cho 105
A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 411. Chứng minh rằng A chia hết cho 105.
A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 411. Chứng minh rằng A chia hết cho 105.
Ta có: A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 411
\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + \left( {{4^3} + {4^4} + {4^5}} \right) + ... + \left( {{4^9} + {4^{10}} + {4^{11}}} \right)\)
\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + {4^3}\,.\,\left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + ... + {4^9}\,.\,\left( {1 + 4 + {4^2}} \right)\)
\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right)\,.\,\left( {1 + {4^3} + ... + {4^9}} \right)\)
\( = 21\,.\,\left( {1 + {4^3} + ... + {4^9}} \right)\; \vdots \;21\)
Vậy A ⋮ 21
Lại có: \(A = 1 + 4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^{11}}\)
\( = \left( {1 + 4} \right) + \left( {{4^2} + {4^3}} \right) + ... + \left( {{4^{10}} + {4^{11}}} \right)\)
\( = \left( {1 + 4} \right) + {4^2}\,.\,\left( {1 + 4} \right) + ... + {4^{10}}\,.\,\left( {1 + 4} \right)\)
\( = \left( {1 + 4} \right)\,.\,\left( {1 + {4^2} + ... + {4^{10}}} \right)\)
\( = 5\,.\,\left( {1 + {4^2} + ... + {4^{10}}} \right)\; \vdots \;5\)
Vậy A ⋮ 5
Với A ⋮ 5 và A ⋮ 21 mà ƯCLN(5; 21) = 1 nên A ⋮ 5 × 21 hay A ⋮ 105.