70 Bài tập về đạo hàm cấp hai (có đáp án năm 2024) có đáp án

Bài giảng Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f⁽³⁾(x).

+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f^(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f^(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y⁽ⁿ⁾ hoặc f⁽ⁿ⁾(x).

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n–1)(x))’.

Ví dụ 1. Với y = 7x⁴ + 8x + 12. Tính y⁽⁵⁾

Lời giải

Ta có: y’ = 28x³ + 8, y” = 84x², y”’ = 168x, y⁽⁴⁾ = 168, y⁽⁵⁾ = 0.

Vậy y⁽⁵⁾ = 0.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).

Lấy số gia $\mathrm{\Delta t}$ tại t thì v(t) có số gia tương ứng là $\mathrm{\Delta v}$

Tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta v}}{\mathrm{\Delta t}}$ được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian $\mathrm{\Delta t}$. Nếu tồn tại: $\mathrm{v}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\underset{\mathrm{\Delta t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta v}}{\mathrm{\Delta t}}=\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)$.

Ta gọi $\mathrm{v}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)$ là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

Vì v(t) = f’(t) nên: $\boxed{\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{f}"\left(\mathrm{t}\right)}$.

Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do $\mathrm{s}=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2.$

Lời giải

Ta có: $\mathrm{s}\text{'}=\mathrm{gt}.$

Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: $\mathrm{\gamma }=\mathrm{s}"\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{s}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{g}\approx 9,8\left(\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\right)$.

Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là: $\mathrm{g}\approx 9,8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.$

Các dạng toán về đạo hàm cấp hai

(Xem thêm các dạng bài tập trong file pdf)

Dạng 1. Tính đạo hàm cấp hai – Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai.

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm cấp 2.

Dạng 3. Vận dụng đạo hàm cấp hai chứng minh đẳng thức tổ hợp.

Bài tập có hướng dẫn

1. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hàm số y = (3x – 4)⁶. Tính y”(2) và y⁽⁴⁾(2).

Lời giải

Ta có: y’ = 6(3x – 4)⁵.3 = 18(3x – 4)⁵

^{$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{y}"=18.5{(3\mathrm{x}-4)}^4.3=270{(3\mathrm{x}-4)}^4 \\ \Rightarrow \mathrm{y}"\text{'}=270.4.{(3\mathrm{x}-4)}^3.3=3240{(3\mathrm{x}-4)}^3 \\ \Rightarrow {\mathrm{y}}^{\left(4\right)}=3240.3.{(3\mathrm{x}-4)}^2.3=29160{(3\mathrm{x}-4)}^2 \end{gathered}$$}

Khi đó, ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{y}"\left(2\right)=270{(3.2-4)}^4=4320; \\ {\mathrm{y}}^{\left(4\right)}\left(2\right)=29160{(3.2-4)}^2=116640. \end{gathered}$$

Vậy y”(2) = 4320 và y⁽⁴⁾(2) = 116640.

Bài 2. Tính đạp hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = sin5x.cos2x;

b) $\mathrm{y}=\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}$;

c) y = (1 – x²)cosx;

d) y = $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}$.

Lời giải

a) y’ = (sin5x.cos2x)’ = 5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x

$\Rightarrow$y” = (5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x)’

= - 25sin5x.cos2x – 10cos5xsin2x – 10cos5xsin2x – 4sin5x.cos2x.

b)

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}={\left(\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}\right)}^{\text{'}} \\ =\mathrm{x}\text{'}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}+\mathrm{x}.\frac{2\mathrm{x}}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}} \\ =\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}=\frac{2{\mathrm{x}}^2+1}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}} \\ \Rightarrow \mathrm{y}"={\left(\frac{2{\mathrm{x}}^2+1}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}\right)}^{\text{'}}= \\ \frac{4\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}-\left(2{\mathrm{x}}^2+1\right).\frac{2\mathrm{x}}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}}{{\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}\right)}^2} \\ =\frac{2{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}}{{\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}\right)}^3}. \end{gathered}$$

c) y’ = [(1 – x²)cosx]’ = -2x.cosx – (1- x²).sinx

$\Rightarrow$y” = [-2x.cosx – (1- x²).sinx]’

= -2cosx + 2xsinx + 2xsinx – (1 – x²).cosx.

d)

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}={\left(\frac{2\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}\right)}^{\text{'}} \\ =\frac{2\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)-\left(2\mathrm{x}+1\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2} \\ =\frac{2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-4-4{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-1}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2} \\ =\frac{-2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-5}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2} \\ \mathrm{y}"={\left[\frac{-2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-5}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2}\right]}^{\text{'}} \\ =\frac{\left(-4\mathrm{x}-2\right){\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^4}- \\ \frac{\left(-2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-5\right)2.\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^4} \end{gathered}$$

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

(Xem thêm trong file pdf)

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

70 Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án năm 2023)

500 Bài tập Toán 11 chương 5: Đạo hàm (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về phép biến hình (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về phép tịnh tiến (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về phép đối xứng trục (có đáp án năm 2023)