70 Bài tập về phép biến hình (có đáp án năm 2023) - Toán 11

Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa.

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

- Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) và gọi M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

- Nếu ℋ  là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu ℋ ' = F(ℋ) là tập các điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc ℋ. Khi đó, ta nói F là biến hình ℋ  thành hình ℋ ', hay hình ℋ ' là ảnh của hình ℋ  qua phép biến hình F.

- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

Ví dụ 1. Cho trước đường thẳng d, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M’ là điểm sao cho M’ đối xứng với M qua d.

Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu trên là một phép biến hình vì chỉ có duy nhất 1 điểm M’ thỏa mãn yêu cầu.

Các dạng toán về phép biến hình

Dạng 1: Phân biệt phép biến hình và phép dời hình

Phương pháp:

- Để chứng minh một phép biến hình là phép dời hình thì cần nắm chắc tính chất “bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ”.

- Tức là phải chỉ rõ  $\forall M,N:\left\{\begin{array}{l}F\left(M\right)=M\text{'}\\ F\left(N\right)=N\text{'}\end{array}\right.\Rightarrow M\text{'}N\text{'}=MN$

Dạng 2: Tìm ảnh, tạo ảnh của một điểm qua một phép dời hình

Loại 1: Tìm ảnh của điểm M.     

      Cách 1: Dựa vào hình vẽ trực quan (trong hệ trục toạ độ)

      Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ (ưu tiên dùng)

Phép quay: Trong mặt phẳng Oxy, cho $M\left(x;y\right),M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right),I\left(a;b\right)$  và $Q_{\left(I,\alpha \right)}\left(M\right)=M\text{'}$ .

Khi đó ta có:

Phép tịnh tiến: $\text{M(x;y)\hspace{0.33em}}I\text{}\stackrel{{\text{T}}_{}}{\to }{}_{}\left(M\right)=(x^{\text{'}};y^{\text{'}})\text{ thì }\left\{\begin{array}{l}{\text{x}}^{\text{'}}\text{=x+a\hspace{0.17em}}\\ {\text{y}}^{\text{'}}=\mathrm{y}+\mathrm{a}\end{array}\right.$với  $\overrightarrow{\text{u}}\left(a;b\right)$

Loại 2: Tìm tạo ảnh của điểm M.

- Cách làm: Dựa vào biểu thức toạ

- Chú ý: Với phép quay ta có $Q_{\left(I,\alpha \right)}\left(N\right)=M\iff Q_{\left(I,-\alpha \right)}\left(M\right)=N$

Dạng 3: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua một PVT

Phương pháp: Dùng tính chất

Nếu phép dời hình là phép tịnh tiến thì d và d^' là hai đường thẳng cùng phương.

Nếu phép dời hình là phép quay thì :

- Cho đường thẳng $d:Ax+By+C=0$ và $Q_{\left(I,\alpha \right)}\left(d\right)=d\text{'}$ .

- Nếu $\alpha =\frac{\pi }{2}+k.\pi$ thì $d\text{'}\perp d$ . Khi đó d^' có PT dạng: $-Bx+Ay+m=0$ .

- Nếu $\alpha =k2\pi$, I tuỳ ý hoặc $\alpha =k\pi ,I\in d$  thì $d\text{'}\equiv d$ .

- Nếu $\alpha =\pi +k2\pi ,I\notin d$  thì $d\text{'}//d$ . Khi đó d^' có PT dạng: $Ax+By+m=0\left(m\ne C\right)$  .

Tìm x theo x’, tìm y theo y’ rồi thay vào biểu thức tọa độ.

Dạng 4: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua một phép dời hình

²Cách 1: Dùng tính chất (bán kính đường tròn không đổi)

$\left(C\right)\left\{\begin{array}{l}+Tâm\text{ I}\\ \text{+ bk : R}\end{array}\right.I\text{}I\text{}\stackrel{}{\to }\left(C^{\text{'}}\right)\left\{\begin{array}{l}+Tâm\\ \end{array}\right.$  Cần tìm .

²Cách 2: Dùng biểu thức tọa độ

Tìm x theo x^', tìm y theo y^' rồi thay vào biểu thức tọa độ.

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(1;1) biến điểm A(0;2) thành A’ và biến điểm B(-2;1) thành B’, khi đó:

A. A’B’ = $\sqrt{5}$      

B. A’B’ = $\sqrt{10}$

C. A’B’ = $\sqrt{11}$      

D. A’B’ = $\sqrt{12}$

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(1;0) biến đường thẳng d: x - 1 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình:

A. x - 1 = 0      

B. x - 2 = 0

C. x - y - 2 = 0      

D. y - 2 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Lấy M(x; y) thuộc d; gọi M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(1;0) thì

Thay vào phương trình d ta được x’ – 2 = 0, hay phương trình d’ là x – 2 = 0 .

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(3;1) biến đường thẳng d: 12x - 36y + 101 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình:

A. 12x – 36y – 101 = 0      

B. 12x + 36y + 101 = 0

C.12x + 36y – 101 = 0      

D. 12x – 36y + 101 = 0.

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(-2;-1) biến thành parabol (P): y = x² thành parabol (P’) có phương trình:

A. y = x² + 4x - 5

B. y = x² + 4x + 4

C. y = x² + 4x + 3

D. y = x² - 4x + 5

Lời giải:

Đáp án: C

Lấy M(x; y) thuộc (P); gọi M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(-2; -1) thì:

thay vào phương trình (P) được y' + 1 = (x'+ 2)² ⇒ y' = x'² + 4x' + 3 hay y = x² + 4x + 3.

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(-3;-2) biến đường tròn có phương trình (C): x² + (y - 1)² = 1 thành đường tròn (C’) có phương trình:

A. (x - 3)² + (y + 1)² = 1

B. (x + 3)² + (y + 1)² = 1

C. (x + 3)² + (y + 1)² = 4

D. (x - 3)² + (y - 1)² = 4

Bài 6: Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ thì với mỗi điểm M có:

A. Ít nhất một điểm M’ tương ứng

B. Không quá một điểm M’ tương ứng

C. Vô số điểm M’ tương ứng

D. Duy nhất một điểm M’ tương ứng

Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trong (O). Qua O kẻ đường thẳng d. Quy tắc nào sau đây là một phép biến hình.

A. Quy tắc biến O thành giao điểm của d với các cạnh tam giác ABC

B. Quy tắc biến O thành giao điểm của d với đường tròn O

C. Quy tắc biến O thành hình chiếu của O trên các cạnh của tam giác ABC

D. Quy tắc biến O thành trực tâm H, biến H thành O và các điểm khác H và O thành chính nó.

Bài 8: Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của BC. Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ biến M thành A thì $\overrightarrow{v}$ bằng:

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 9: Cho tam giác ABC có trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O), BC cố định, I là trung điểm của BC. Khi A di động trên (O) thì quỹ tích H là đường tròn (O’) là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ bằng:

A. $\overrightarrow{IH}$       

B. $\overrightarrow{AO}$       

C. 2$\overrightarrow{OI}$       

D. $\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Bài 10: Mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(2; -3) biến đường thẳng d: 2x + 3y - 1 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình

A. 3x + 2y - 1 = 0

B. 2x + 3y + 4 = 0

C. 3x + 2y + 1 = 0

D. 2x + 3y + 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(2; -3) biến điểm M (x; y) thành điểm M’(x’; y’) thì:

hay vào phương trình d được:

2(x' - 2) + 3(y' + 3) - 1 = 0 ⇒ 2x' + 3y' + 4 = 0

hay 2x + 3y + 4 = 0.

Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ biến M thành M’ thì $\overrightarrow{v}$ = $\overrightarrow{M\text{'}M}$

B. Phép tịnh tiến là phép đồng nhất khi vecto tịnh tiến là $\overrightarrow{O}$

C. Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ biến M thành M’ và N thành N’ thì tứ giác MNM’N’ là hình bình hành

D. Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ biến đường tròn (O;R) thành đường tròn (O;R)

Bài 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Mệnh đề nào sau đây là sai.

A. T$\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{BC}$(F) = E       

B . $\overrightarrow{TDE}$(B) = F

C. T2DG→ (A) = G       

D. T$\frac{1}{2}$ GA→(D) = G

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$(1;2) biến điểm M (-1; 4) thành điểm M’ có tọa độ là?

Lời giải:

Thay vào công thức:

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm M(-10;1) và điểm M’(3;8). Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ biến M thành M’, thì tọa độ vecto $\overrightarrow{v}$ là:

Lời giải:

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(0;0) biến điểm A(0;2) thành điểm A’ có tọa độ:

Lời giải:

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn