500 Bài tập Toán 11 chương 5: Đạo hàm (có đáp án năm 2024)

1900.edu.vn xin giới thiệu: Tổng hợp các dạng bài tập chương 5: Đạo hàm Toán 11. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 11, giải bài tập Toán 11 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Đạo hàm

Kiến thức cần nhớ

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) : limxx0fxfx0xx0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là f'(x0). Vậy f'x0=limxx0fxfx0xx0.

* Chú ý:

Đại lượng ∆x = x- x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.

Đại lượng ∆y= f(x) – f(x0)= f(x+ ∆x) –  f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy: y'x0=limΔxΔyΔx.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 tính:

∆y= f(x+ ∆x) – f( x0) .

+ Bước 2: Lập tỉ số ΔyΔx..

+ Bước 3: Tìm limΔx0ΔyΔx.

Ví dụ 1. Cho hàm số y=2x3, có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó ΔyΔx bằng bao nhiêu.

Lời giải

Tập xác định của hàm số đã cho là: D=32;+.

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 2. Ta có:

Δy=f2+Δxf2=2.2+Δx32.23=2Δx+11

Khi đó:

ΔyΔx=2Δx+11ΔxlimΔx0ΔyΔx=limΔx02Δx+11Δx=limΔx02Δx+11.2Δx+1+1Δx.2Δx+1+1=limΔx02ΔxΔx.2Δx+1+1=limΔx022Δx+1+1=1

Vậy f’(2) = 1.

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lý 1. Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Ví dụ 2. Chẳng hạn hàm số y=f(x)=x2  khi  x0x        khi  x<0 liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị gãy tại điểm O(0;0) như hình vẽ sau:

Lý thuyết Ôn tập chương 5 chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

4. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

+) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x = x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

+) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y – y0= f’(x0) ( x- x0) trong đó y0= f(x0).

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 – 3x2 + 2 tại điểm có hoành độ x = 3.

Lời giải

Bằng định nghĩa ta tính được: y’(3) = 9.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là 9.

Ta có: y(3) = 2.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ x = 3 là:

y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 27 + 2 = 9x – 25.

b) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

+) Vận tốc tức thời:

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0: v(t0) = s’(t0).

+) Cường độ tức thời:

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0: I(t0) = Q’(t0) .

Ví dụ 4. Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t2 + 6t+ 10 trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3.

Lời giải

Phương trình vận tốc của xe là v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s)

⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là:

V(3)= 2.3+ 6 = 12 (m/s)

Chọn A.

II. Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó ta gọi hàm số f’:

 a;bxf'x

là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

Ví dụ 5. Hàm số y = x2 – 2x có đạo hàm y’ = 2x – 2 trên khoảng ;+.

Hàm số y=2x có đạo hàm y'=2x2 trên các khoảng ;0 và 0;+.

III. Đạo hàm của một hàm số thường gặp

1. Định lý 1

Hàm số y = xn  có đạo hàm tại mọi x và (xn)’ = n.xn-1.

2. Định lý 2

Hàm số y=x có đạo hàm tại mọi x dương và x'=12x.

Ví dụ 1.

a) Tính đạo hàm y = x3;

b) Tính đạo hàm y=x tại x = 5.

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3x2;

b) Ta có: y'=12x

Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là: y'5=125.

IV. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1. Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

uv'=u'vu.v'v2v=v(x)0.

2. Hệ quả

Hệ quả 1. Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = k.u’.

Hệ quả 2. 1v'=v'v2.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x5 – 2x2 + 3x + 6;

b) y = (x2 + 1)(2x – 3);

c) y=7x2x1.

Lời giải

a) y = x5 – 2x2 + 3x

y’ = (x5 – 2x2 + 3x)’

    = (x5)’ – (2x2)’ + (3x)’

   = 5x4 – 4x + 3.

b) y = (x2 + x).2x

y’ = (x2 + x)’.2x + (x2 + 1)(2x)’

   = [(x2)’ + x’].2x + (x2 + 1).2

   = (2x + 1).2x + 2x2 + 2

   = 4x2 + 2x + 2x2 + 2

   = 6x2 + 2x + 2.

c)

y=7x2x1y=7x2'x32x7x2x32x'x32x2=14xx32x7x22x22x32x2=14x428x214x2+14xx32x2=28x2+14xx32x2

V. Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x là và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là  thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: yx'=yu'.ux'.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: y=x2+2x

Lời giải

Đặt u=x2+2x thì y=u

y'=u'2u=x2+2x'2x2+2x=2x+22x2+2x.

VI. Đạo hàm hàm lượng giác

1. Giới hạn sinxx

Định lý 1.

limx0sinxx=1.

Ví dụ 1. Tính limx1sinx1x21

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.

limt0sinttt+2=limt0sintt.1t+2=limt0sintt.limt01t+2=1.12=12.

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2.

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi x và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y=sin2x+32

Lời giải

y'=2sin2x+3'.sin2x+3=2cos2x+3.2x+3'.sin2x+3y'=4cos2x+3.sin2x+3

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3.

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi x và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y=cosπ2x tại x=π3.

Lời giải

Đặt u=π2x

y'=cosu'=u'.sinu=π2x'sinπ2x=sinπ2x.

Thay x=π3 vào y’ ta được:

y'π3=sinπ2π3=sinπ6=12.

Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại x=π3 là 12

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4.

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi xπ2+,k và (tanx)’ = 1cos2x.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = u'cos2u.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm y=2+tanx

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

y'=u'2u=2+tanx'22+tanx=1cos2x22+tanx=12.cos2x2+tanx

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5.

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi x,k và (cotx)’ = 1sin2x.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = u'sin2u.

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x2.

Lời giải

y’ = (cot x2)’ = (x2)’.-1sinx22=2xsinx22.

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

VII. Đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f(3)(x).

+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y(n) hoặc f(n)(x).

f(n)(x) = (f(n–1)(x))’.

Ví dụ 1. Với y = 7x4 + 8x + 12. Tính y(5)

Lời giải

Ta có: y’ = 28x3 + 8, y” = 84x2, y”’ = 168x, y(4) = 168, y(5) = 0.

Vậy y(5) = 0.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).

Lấy số gia Δt tại t thì v(t) có số gia tương ứng là Δv

Tỉ số ΔvΔt được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian Δt. Nếu tồn tại: v'(t)=limΔt0ΔvΔt=γt.

Ta gọi v't=γt là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

Vì v(t) = f’(t) nên: γt=f"t.

Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do s=12gt2.

Lời giải

Ta có: s'=gt.

Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: γ=s"t=s'(t)=g9,8m/s2.

Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là: g9,8m/s2.

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hàm số: y=f(x)=x2+xx2 (C)

a) Hãy tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số đã cho tại x = 1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) tại điểm A(1;-2).

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số đã cho là: D=\2.

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 1. Ta có:

Δy=f1+Δxf1=1+Δx2+1+Δx1+Δx212+112=Δx2+2Δx+1+1+ΔxΔx1+2=Δx2+3Δx+2Δx1+2=Δx2+3Δx+2Δx1+2Δx2Δx1=Δx2+5ΔxΔx1

Khi đó:

ΔyΔx=Δx2+5ΔxΔx1Δx=ΔxΔx+5Δx1Δx=Δx+5Δx1limΔx0ΔyΔx=limΔx0Δx+5Δx1=5.

Vậy f’(1) = - 5.

b) Bằng định nghĩa ta tính được: y’(1) = -5.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là -5.

Ta có: y(1) = - 2.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm A(1;-2) là:

y = -5(x – 1) - 2 = -5x + 5 - 2 = -5x + 3.

Bài 2. Chứng minh rằng hàm số f(x)=x12  khi  x0x+12  khi  x<0 không có đạo hàm tại x = 0 nhưng liên tục tại điểm đó.

Lời giải

Ta có f(0) = 1.

Trước hết, ta tính giới hạn bên phải của tỉ số fxf0x0. Ta có:

limx0+fxf0x0=limx0+x121x=limx0+xx2x=limx0+x2=2. x0

Giới hạn bên trái của tỉ số fxf0x0, ta có:

limx0fxf0x0=limx0x+121x=limx0xx+2x=limx0x+2=2.

Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại limx0fxf0x0. Điều này chứng tỏ hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.

Ta có:

limx0+f(x)=limx0+x12=1limx0f(x)=limx0x+12=1limx0f(x)=limx0+x+12=1

Do đó hàm số liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số liên tục tại x = 1 nhưng không có đạo hàm tại x = 1.

Bài 3. Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t) = 2t2 + t, trong đó t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo Culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.

Lời giải

Cường độ dòng điện tại t = 4 là: I(4) = Q’(4).

Đạo hàm của hàm Q(t) tại t = 4 bằng 17.

Vậy cường độ dòng điện tại t = 4 là 17 A.

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số:

a) y=2x+1, biết hệ số góc của tiếp tuyến là 13;

b) y = x3 + 2x tại điểm có hoành độ bằng  2.

Lời giải

a)

limxx0fxfx0xx0=limxx02x+12x0+1xx0=limxx02xx0xx02x+1+2x0+1=limxx022x+1+2x0+1=12x0+112x0+1=132x0+1=32x0+1=9x0=4y(4)=2.4+1=3

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đã cho là: y=13x4+3=13x43+3=13x+53.

b)

 limx2fxf2x2=limx2x3+2x23+2.2x2=limx2x3+2x12x2=limx2x2x2+2x+6x2=limx2x2+2x+6=14

Ta có y(2) = 12.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho là:

y = 14(x – 2) + 12 = 14x – 28 + 12 = 14x – 16.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho là y = 14x – 16.

Bài 5. Tính đạo hàm các hàm số sau:

1. y=x33x2+2x+1

2. y=x3+3x+1

3. y=x44x2+1

4. y=2x4+32x2+1

5. y=2x+1x3                                                      

6. y=x22x+2x+1

Lời giải

1. Ta có: y'=x3+3x+1'=3x26x+2

2. Ta có: y'=x3+3x+1'=3x2+3

3. Ta có: y'=x44x2+1'=x32x

4. Ta có: y'=2x4+32x2+1'=8x3+3x

5. Ta có:

 y'=(2x+1)'(x3)(x3)'(2x+1)(x3)2=7(x3)2

6. Ta có:

y'=(x22x+2)'(x+1)(x22x+2)(x+1)'(x+1)2=(2x2)(x+1)(x22x+2)(x+1)2=x2+2x4x+12

Bài 6. Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y=x7+x2

b) y=2x2+3x+1

Lời giải

a) Đặt u = (x7 + x)2

y'u=2x7+xx7+x'=2x7+x7x+1

b) Đặt u = 2x2 + 3x + 1

y'u=u'2u=2x2+3x+1'22x2+3x+1=4x+322x2+3x+1

Bài 7. Cho f(x)=2x3x2+32 và g(x)=x33+x22+103. Giải bất phương trình f’(x) > g’(x).

Lời giải

Ta có:

f'(x)=2x3x2+32'=6x22xg'(x)=x33+x22+103'=x2+x

Xét bất phương trình: f’(x) > g’(x)

6x22x>x2+x5x23x>0x<0x>35

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ;035;+.

Bài 8. Cho f(x) = x5 + x3 – 2x – 3. Chứng minh rằng:

f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Lời giải

Ta có: f’(x) = (x5 + x3 – 2x – 3)’ = 5x4 + 3x2 – 2.

Khi đó:

f’(1) = 5.14 + 3.12 – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f’(-1) = 5.(-1)4 + 3.(-1)2 – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f(0) = 05 + 03 – 2.0 – 3 = 0 + 0 – 0 – 3 = - 3.

f’(1) + f’(-1) = 6 + 6 = 12 và -4f(0) = -4.(-3) = 12.

Vậy f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Bài 9. Tính các đạo hàm sau:

a) y=3tan2x+cot2x

b) y=cosx3sin3x+43cotx                   

c)  y=cos2sin3x        

d) y=xsinx

Lời giải

a)    

y'=3tan2x+cot2x'23tan2x+cot2x=6tanx.1cos2x2sin22x23tan2x+cot2x=6sinxcos3x12.sin2x.cos2x23tan2x+cot2x

b)              

y'=cosx3sin3x+43cotx'=sinx.3sin3x+cosx.9.sin2x.cosx3sin3x243sin2x=sin2x+3cos2x3sin4x43sin2x=3cos2x3sin2x3sin4x=cos2xsin2xsin4x

c)      

y'=cos2sin3x'=2.cossin3x.cossin3x'=2.cossin3x.cossin3x'=2.cossin3x.sinsin3xsin3x'=2.cossin3x.sinsin3x3sin2x.cosx=6.cossin3x.sinsin3xsin2x.cosx

d) 

y'=x'.sinxx.sinx'sinx2=sinxx.cosxsinx2

Bài 10. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc x.

a) y=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x

b) y=cos2π3x+cos2π3+x+ cos22π3x+cos22π3+x2sin2x

Lời giải

a)

y'=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x'=6sin5xcosx6cos5x.sinx+6sinxcos3x6sin3xcosx=6sinxcosxsin4xcos4x+6sinxcosxcos2xsin2x=6sinxcosxsin2xcos2xsin2x+cos2x+6sinxcosxcos2xsin2x=6sinxcosxsin2xcos2x+6sinxcosxcos2xsin2x=6sinxcosxcos2xsin2x+6sinxcosxcos2xsin2x=0

b)

y'=2cosπ3xsinπ3x2cosπ3+xsinπ3+x+2cos2π3xsin2π3x2cos2π3+xsin2π3+x4sinxcosx=sin2π32xsin2π3+2x+sin4π32xsin4π3+2x2sin2x=2cos2π3sin2x2cos4π3sin2x2sin2x=sin2x+sin2x2sin2x=0

Bài 11. Tìm f’(2) biết f(x) = x2.sin(x – 2).

Lời giải

Ta có : f’(x) = 2x.sin(x – 2) + x2cos(x – 2)

Khi đó: f’(2) = 2.2.sin(2 – 2) + 22.cos(2 – 2)

                     = 4.0 + 4.1

                     = 0 + 4

                     = 4.

Vậy f’(2) = 4.

Bài 12: Tính đạp hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = sin5x.cos2x;

b) y=xx2+1;

c) y = (1 – x2)cosx;

d) y = y=2x+1x2+x2.

Lời giải

a) y’ = (sin5x.cos2x)’ = 5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x

y” = (5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x)’

= - 25sin5x.cos2x – 10cos5xsin2x – 10cos5xsin2x – 4sin5x.cos2x.

b)

y'=xx2+1'=x'x2+1+x.2x2x2+1=x2+1+x2x2+1=2x2+1x2+1y"=2x2+1x2+1'=4xx2+12x2+1.2x2x2+1x2+12=2x3+3xx2+13.

c) y’ = [(1 – x2)cosx]’ = -2x.cosx – (1- x2).sinx

y” = [-2x.cosx – (1- x2).sinx]’ = -2cosx + 2xsinx + 2xsinx – (1 – x2).cosx.

d)

y'=2x+1x2+x2'=2x2+x22x+12x+1x2+x22=2x2+2x44x24x1x2+x22=2x22x5x2+x22y"=2x22x5x2+x22'=4x2x2+x22x2+x24-2x22x52.x2+x22x+1x2+x24

Bài 13. Cho hàm số y = (3x – 4)6. Tính y”(2) và y(4)(2).

Lời giải

Ta có: y’ = 6(3x – 4)5.3 = 18(3x – 4)5

y"=18.5(3x4)4.3=270(3x4)4y"'=270.4.(3x4)3.3=3240(3x4)3y(4)=3240.3.(3x4)2.3=29160(3x4)2

Khi đó, ta có:

y"2=270(3.24)4=4320;y(4)2=29160(3.24)2=116640.

Vậy y”(2) = 4320 và y(4)(2) = 116640.

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

70 Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án năm 2023)

500 Bài tập Toán 11 chương 5: Đạo hàm (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về phép biến hình (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về phép tịnh tiến (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về phép đối xứng trục (có đáp án năm 2023)

 
 
500 Bài tập Toán 11 chương 5: Đạo hàm (có đáp án năm 2024) (trang 1)
Trang 1
500 Bài tập Toán 11 chương 5: Đạo hàm (có đáp án năm 2024) (trang 2)
Trang 2
500 Bài tập Toán 11 chương 5: Đạo hàm (có đáp án năm 2024) (trang 3)
Trang 3
500 Bài tập Toán 11 chương 5: Đạo hàm (có đáp án năm 2024) (trang 4)
Trang 4
500 Bài tập Toán 11 chương 5: Đạo hàm (có đáp án năm 2024) (trang 5)
Trang 5
500 Bài tập Toán 11 chương 5: Đạo hàm (có đáp án năm 2024) (trang 6)
Trang 6
500 Bài tập Toán 11 chương 5: Đạo hàm (có đáp án năm 2024) (trang 7)
Trang 7
500 Bài tập Toán 11 chương 5: Đạo hàm (có đáp án năm 2024) (trang 8)
Trang 8
Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!