70 Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án năm 2024) - Toán 11

1900.edu.vn xin giới thiệu: Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm của hàm số lượng giác Toán 11. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 11, giải bài tập Toán 11 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Kiến thức cần nhớ

1. Giới hạn sinxx

Định lý 1.

limx0sinxx=1.

Ví dụ 1. Tính limx1sinx1x21

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.

limt0sinttt+2=limt0sintt.1t+2=limt0sintt.limt01t+2=1.12=12.

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2.

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi x và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y=sin2x+32

Lời giải

y'=2sin2x+3'.sin2x+3=2cos2x+3.2x+3'.sin2x+3y'=4cos2x+3.sin2x+3

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3.

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi x và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y=cosπ2x tại x=π3.

Lời giải

Đặt u=π2x

y'=cosu'=u'.sinu=π2x'sinπ2x=sinπ2x.

Thay x=π3 vào y’ ta được:

y'π3=sinπ2π3=sinπ6=12.

Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại x=π3 là 12

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4.

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi xπ2+,k và (tanx)’ = 1cos2x.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = u'cos2u.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm y=2+tanx

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

y'=u'2u=2+tanx'22+tanx=1cos2x22+tanx=12.cos2x2+tanx

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5.

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi x,k và (cotx)’ = 1sin2x.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = u'sin2u.

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x2.

Lời giải

y’ = (cot x2)’ = (x2)’.-1sinx22=2xsinx22.

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Các dạng toán về đạo hàm của hàm số lượng giác

Dạng 1. Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác.

Phương pháp giải:

- Áp dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác.

- Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 5sin x – 3cos x

b) y = sin(x2 – 3x + 2)

c) y=1+2tanx

d) y = tan 3x – cot 3x

e) y=tan2x13cot4x+sinx

Lời giải

a) Ta có: y' = 5cos x + 3sin x

b) Ta có: y' = (x2 – 3x + 2)’.cos(x2 – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x2 – 3x + 2).

c) Ta có: y'=1+2tanx'21+2tanx=2cos2x21+2tanx=1cos2x1+2tanx.

d) Ta có các cách thực hiện sau:

Cách 1: Ta có ngay:

y'=3cos23x+3sin23x=3sin23x.cos23x=314sin26x=12sin26x.

Cách 2: Ta biến đổi:

y=sin3xcos3xcos3xsin3x=sin23xcos23xcos3x.sin3x=2cos6xsin6x =2cot6x

y'=12sin26x.

e) y'=(tan2x)'13(cot4x)'+sinx'=2cos22x+43sin24x+cosx2sinx

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=sin23x+1cos2x

b) y=1+sinx1+cosx

c) y=tanx2+2x+1

d) y=(sinx+cosx)3cosx13sinx

Lời giải

a) y'=2sin3x.sin3x'cos2x'cos4x=2sin3x.3cos3x2cosx.cosx'cos4x=6sin3xcos3x+2cosx.sinxcos4x=3sin6x+2sinxcos3x

b) y'=(1+sinx)'(1+cosx)(1+cosx)'(1+sinx)(1+cosx)2  

=cosx(1+cosx)+sinx(1+sinx)(1+cosx)2=cosx+sinx+1(1+cosx)2

c) y'=tanx2+2x+1'=x2+2x+1'cos2x2+2x+1

=2x+1xcos2x2+2x+1=2xx+1xcos2x2+2x+1

d) y'=(sinx+cosx)'3cosx13sinx+(sinx+cosx)3cosx13sinx'

=(cosxsinx)3cosx13sinx+(sinx+cosx)3sinx13cosx

=3cos2x103sinxcosx+13sin2x3sin2x103sinxcosx13cos2x

=83cos2x83sin2x203sinxcosx

=83cos2x103sin2x

Dạng 2. Tính đạo hàm tại một điểm.

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức. Giải phương trình f’(x) = 0. Bất phương trình liên quan đến đạo hàm

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y2 – 1 = 0.

b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y2 + 2 = 0.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: y'=1cos2x.

Khi đó, ta có:

y'y21 =1cos2xtan2x1=1cos2x1cos2x=0  (đpcm)

b) Trước tiên, ta có: y'=2sin22x.

Khi đó, ta có:

y'+2y2+2=2sin22x+2cot22x+2 =2sin22x+2sin22x=0  (đpcm)

Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau:

a)   y = sin 2x – 2cos x.

b)   y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: y' = 2cos 2x + 2sin x.

Khi đó, phương trình có dạng:

2cos2x+2sinx=0  cos2x=sinx=cosx+π2 

 2x=x+π2+2kπ2x=xπ2+2kπ   x=π2+2kπx=π6+2kπ3,k.

b) Trước tiên, ta có:

y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10.

Khi đó, phương trình có dạng:

6cos2x8sin2x+10=04sin2x3cos2x=5

 45sin2x35cos2x=1

Đặt  45=cosa  và 35=sina, do đó ta được:

sin2xcosacos2x.sina=1sin(2xa)=1

 2xa= π2+2kπx=a2+ π4+kπ, k.

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Câu 1. Hàm số y  =  cotx  có đạo hàm là:

A. y’ = - tan x      

B. y'=1cos2x         

C. y'=1sin2x          

D. y’ = 1 + cot2x

Câu 2. Hàm số y=32sin7x có đạo hàm là:

A. 212cosx          

B. 212cos7x            

C. 212cos7x             

D. 212cosx

Câu 3. Hàm số y=sinπ63x có đạo hàm là:

A. 3cosπ63x   

B. 3cosπ63x     

C. cosπ63x        

D. 3sinπ63x.

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là:

A. y’ = 3cos 2x – sin 3x                        

B. y’ = 3cos 2x + sin 3x

C. y’ = 6cos 2x – 3sin 3x                      

D. y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x

Câu 5. Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là:

A. tan2x+2xcos2x  

B. 2xcos22x             

C. tan2x+2xcos22x

D. tan2x+xcos22x.

Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức nào sau đây?

A. 30cos3x.sin5x                                   

B. – 8cos8x + 2cos2x

C. 8cos8x – 2cos2x                                                                 

D. – 30cos3x + 30sin5x

Câu 7. Hàm số y=sinxx có đạo hàm là:

A. y'=xsinxcosxx2                                                               

B. y'=xcosxsinxx2

C. y'=xcosx+sinxx2                                                               

D. y'=xsinx+cosxx2

Câu 8. Hàm số y=12cotx2 có đạo hàm là:

A. x2sinx2           

B. xsin2x2               

C. xsinx2                 

D. xsin2x2

Câu 9. Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là:

A. y'=1sin22x       

B. y'=4cos22x         

C. y'=4sin22x           

D. y'=1cos22x

Câu 10. Đạo hàm của hàm số y=sinx+cosxsinxcosx có biểu thức dạng a(sinxcosx)2.

Vậy giá trị a là:

A. a  =  1              

B. a  =  – 2               

C. a  =  3                  

D. a  =  2

Câu 11. Cho hàm số y=sin2+x2. Đạo hàm y' của hàm số là

A. 2x+22+x2cos2+x2                            

B. x2+x2cos2+x2

C. x2+x2cos2+x2                            

D. (x+1)2+x2cos2+x2

Câu 12. Đạo hàm của hàm số y=sin22x.cosx+2x là

A. y'=2sin2x.cosxsinx.sin22x2x                                 

B. y'=2sin2x.cosxsinx.sin22x2x

C. y'=2sin4x.cosx+sinx.sin22x1xx                                

D. y'=2sin4x.cosxsinx.sin22x1xx

Câu 13. Cho hàm số y=fx=sin35x.cos2x3. Giá trị đúng của f'π2bằng

A. 36               

B. 34                   

C. 33                   

D. 32

Câu 14. Cho hàm số y = cos2x + sin x. Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;π)

A. 1 nghiệm          

B. 2 nghiệm              

C. 3 nghiệm             

D. 4 nghiệm

Câu 15. Cho hàm số y = sin 2x + x. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình y’ = 0  trong khoảng (π;π)

A. π6 và π6         

B. π3 và π3            

C. π6 và 7π12           

D. π3 và π6

BẢNG ĐÁP ÁN

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

C

B

B

C

C

B

B

D

C

B

C

D

A

C

B

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

200 Bài tập Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)

100 Bài tập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)

500 Bài tập Toán 10 bất phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit (2024) có đáp án

Bất phương trình bậc nhất một ẩn (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 1)
Trang 1
70 Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 2)
Trang 2
70 Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 3)
Trang 3
70 Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 4)
Trang 4
70 Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 5)
Trang 5
70 Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 6)
Trang 6
70 Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 7)
Trang 7
70 Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 8)
Trang 8
Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!