Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Kiến thức cần nhớ
1. Giới hạn
Định lý 1.
Ví dụ 1. Tính
Lời giải
Đặt x – 1 = t.
Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.
2. Đạo hàm của hàm số y = sinx
Định lý 2.
Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi và (sinx)’ = cosx.
Chú ý:
Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số
Lời giải
3. Đạo hàm của hàm số y = cosx
Định lý 3.
Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi và (cosx)’ = - sinx.
Chú ý:
Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số tại .
Lời giải
Đặt
Thay vào y’ ta được:
Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại là
4. Đạo hàm của hàm số y = tanx
Định lý 4.
Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi và (tanx)’ = .
Chú ý:
Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ =
Ví dụ 4. Tính đạo hàm
Lời giải
Đặt u = 2 + tanx
5. Đạo hàm của hàm số y = cotx
Định lý 5.
Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi và (cotx)’ = .
Chú ý:
Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ =
Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x2.
Lời giải
y’ = (cot x2)’ = (x2)’.=.
6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:
Các dạng toán về đạo hàm của hàm số lượng giác
Dạng 1. Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác.
Phương pháp giải:
- Áp dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác.
- Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 5sin x – 3cos x
b) y = sin(x2 – 3x + 2)
c)
d) y = tan 3x – cot 3x
e)
Lời giải
a) Ta có: y' = 5cos x + 3sin x
b) Ta có: y' = (x2 – 3x + 2)’.cos(x2 – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x2 – 3x + 2).
c) Ta có: .
d) Ta có các cách thực hiện sau:
Cách 1: Ta có ngay:
.
Cách 2: Ta biến đổi:
.
e)
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
Dạng 2. Tính đạo hàm tại một điểm.
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức. Giải phương trình f’(x) = 0. Bất phương trình liên quan đến đạo hàm
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y2 – 1 = 0.
b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y2 + 2 = 0.
Lời giải
a) Trước tiên, ta có: .
Khi đó, ta có:
(đpcm)
b) Trước tiên, ta có: .
Khi đó, ta có:
(đpcm)
Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau:
a) y = sin 2x – 2cos x.
b) y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x.
Lời giải
a) Trước tiên, ta có: y' = 2cos 2x + 2sin x.
Khi đó, phương trình có dạng:
,.
b) Trước tiên, ta có:
y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10.
Khi đó, phương trình có dạng:
Đặt và , do đó ta được:
.
Bài tập tự luyện
1. Bài tập vận dụng
Câu 1. Hàm số y = cotx có đạo hàm là:
A. y’ = - tan x
B.
C.
D. y’ = 1 + cot2x
Câu 2. Hàm số có đạo hàm là:
A.
B.
C.
D.
Câu 3. Hàm số có đạo hàm là:
A.
B.
C.
D. .
Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là:
A. y’ = 3cos 2x – sin 3x
B. y’ = 3cos 2x + sin 3x
C. y’ = 6cos 2x – 3sin 3x
D. y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x
Câu 5. Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là:
A.
B.
C.
D. .
Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức nào sau đây?
A. 30cos3x.sin5x
B. – 8cos8x + 2cos2x
C. 8cos8x – 2cos2x
D. – 30cos3x + 30sin5x
Câu 7. Hàm số có đạo hàm là:
A.
B.
C.
D.
Câu 8. Hàm số có đạo hàm là:
A.
B.
C.
D.
Câu 9. Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là:
A.
B.
C.
D.
Câu 10. Đạo hàm của hàm số có biểu thức dạng .
Vậy giá trị a là:
A. a = 1
B. a = – 2
C. a = 3
D. a = 2
Câu 11. Cho hàm số . Đạo hàm y' của hàm số là
A.
B.
C.
D.
Câu 12. Đạo hàm của hàm số là
A.
B.
C.
D.
Câu 13. Cho hàm số . Giá trị đúng của bằng
A.
B.
C.
D.
Câu 14. Cho hàm số y = cos2x + sin x. Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
A. 1 nghiệm
B. 2 nghiệm
C. 3 nghiệm
D. 4 nghiệm
Câu 15. Cho hàm số y = sin 2x + x. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình y’ = 0 trong khoảng
A. và
B. và
C. và
D. và
BẢNG ĐÁP ÁN
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
C |
B |
B |
C |
C |
B |
B |
D |
C |
B |
C |
D |
A |
C |
B |
2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn
Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:
200 Bài tập Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)
100 Bài tập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)
500 Bài tập Toán 10 bất phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)
60 Bài tập về Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit (2024) có đáp án