Trắc nghiệm Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác có đáp án
Dạng 2. Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
-
496 lượt thi
-
10 câu hỏi
-
0 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho tam giác ΔABC có đường trung tuyến AD, trên đoạn thẳng AD lấy điểm E và F sao cho AE = EF = FD. Điểm F là:
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: AD = AE + EF + FD mà AE = EF = FD nên AD = 3AE.
Suy ra .
Do đó
Vì AD là đường trung tuyến và nên F là trọng tâm của ΔABC.
Câu 2:
Cho ΔABC có đường trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm của CK, GE cắt AC tại I. Điểm I là trọng tâm của tam giác nào?
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có suy ra BG = 2GM.
Khi đó GK = BG = 2GM.
Suy ra M là trung điểm của GK.
Do đó I là giao điểm ba đường trung tuyến của ΔKGC.
Vậy I là trọng tâm của ΔKGC.
Câu 3:
Cho tam giác ABC, trên đường trung tuyến AD. Gọi G là điểm nằm giữa A và D sao cho Tia BG cắt AC tại E, tia CG cắt AB tại F. Khẳng định nào sau đây sai?
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Do AD là đường trung tuyến của tam giác ABC mà
Suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC.
Mặt khác, BG cắt AC tại E, CG cắt AB tại F.
Suy ra BE, CF lần lượt là hai đường trung tuyến của ΔABC.
Do đó E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB.
Theo tính chất của ba đường trung tuyến ta có:
suy ra ;
suy ra Do đó .
Vậy khẳng định ở phương án B là sai. Ta chọn phương án B.
Câu 4:
Cho hình vẽ như bên dưới. Biết AM = 12 cm.
Độ dài của đoạn thẳng AG là
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Xét ∆ABC có:
AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);
BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).
AM và BN cắt nhau tại G.
Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.
Suy ra (tính chất trọng tâm của tam giác)
Do đó: (cm).
Câu 5:
Cho ∆ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM = 2MC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Gọi E là giao điểm của AM và BD. Khi đó điểm M là
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Xét ΔABD có AC = CD nên C là trung điểm của AD
Do đó BC là đường trung tuyến của ΔABD.
Mà BM = 2MC nên .
Ta có M nằm trên đường trung tuyến BC và thỏa mãn nên M là trọng tâm của ΔABD.
Câu 6:
Cho ΔABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tia AG cắt BC tại M. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG là trung tuyến của tam giác
Mà AG cắt BC tại M nên M là trung điểm của BC
Do đó MB = MC.
Lại có BE = CF (giả thiết)
Nên MB + BE = MC + CF hay ME = MF.
Suy ra AM là đường trung tuyến ứng với cạnh EF của ΔAEF.
Mặt khác (do G là trọng tâm của ΔABC).
Do đó G là trọng tâm của ΔAEF
Mà G là trọng tâm của ΔABC, nên hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm là điểm G.
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 7:
Cho ΔABC có đường trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm CK; GE cắt AC tại I. Số thích hợp để điền vào chỗ trống CI = … AC là:
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có nên BG = 2GM suy ra GK = BG = 2GM.
Khi đó M là trung điểm của GK.
Do đó I là giao điểm hai đường trung tuyến CM và GE của ΔKGC.
Suy ra I là trọng tâm của ΔKGC.
Nên
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 8:
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Đoạn thẳng AM, AN cắt BD lần lượt tại I và K. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: ΔABC có hai đường trung tuyến BO, AM cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của ΔABC.
Suy ra (tính chất trọng tâm của tam giác)
Ta có: ΔADC có hai đường trung tuyến DO, AN cắt nhau tại K nên K là trọng tâm của ΔABC.
Suy ra (tính chất trọng tâm của tam giác)
Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD)
Do đó:
Suy ra
Khi đó BI = IK = KD.
Câu 9:
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Gọi M là trung điểm của BC. Suy ra MB = MC.
Xét ΔBMD và ΔCME có:
BD = CE (giả thiết);
(cặp góc so le trong của Bx // AC);
MB = MC
Do đó ΔBMD = ΔCME (c.g.c).
Suy ra MD = ME (hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng)
Ta có (kề bù).
Do đó suy ra D, M, E thẳng hàng.
Ta có ba điểm D, M, E thẳng hàng và MD = ME nên M là trung điểm của DE.
Khi đó ΔABC và ΔADE chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AM nên trọng tâm G của hai tam giác này trùng nhau.
Câu 10:
Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Cho các phát biểu sau:
(I)
(II) AD + BE + CF < AB + BC + AC.
Chọn khẳng định đúng:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
• Ta xét (I):
Xét ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC, do đó và
∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).
Suy ra
Hay
Do đó (1).
Chứng minh tương tự ta được:
⦁ (2).
⦁ (3).
Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:
Suy ra
Do đó
Vậy (I) đúng.
• Ta xét (II):
Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.
Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:
DA = DA’ (theo cách dựng);
(hai góc đối đỉnh);
BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC)
Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).
Suy ra AB = A’C (hai cạnh tương ứng).
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.
Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).
Chứng minh tương tự, ta được:
⦁ 2BE < AB + BC (5).
⦁ 2CF < AC + BC (6).
Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được:
2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.
Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).
Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.
Vậy (II) đúng.
Kết luận: cả (I) và (II) đều đúng.
Ta chọn phương án C.