Câu hỏi:

26/01/2024 67

Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Cho các phát biểu sau:

(I) AD+BE+CF>34AB+BC+AC;

(II) AD + BE + CF < AB + BC + AC.

Chọn khẳng định đúng:


A. Chỉ (I) đúng;



B. Chỉ (II) đúng;


C. Cả (I) và (II) đều đúng;

Đáp án chính xác

D. Cả (I) và (II) đều sai.

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Cho các phát biểu sau: (ảnh 1)

• Ta xét (I):

Xét ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC, do đó GB=23BE và GC=23CF.

∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra 23BE+23CF>BC

Hay 23BE+CF>BC

Do đó BE+CF>32BC  (1).

Chứng minh tương tự ta được:

AD+BE>32AB  (2).

AD+CF>32AC  (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:

2AD+2BE+2CF>32AB+32BC+32AC

Suy ra 2AD+BE+CF>32AB+BC+AC

Do đó AD+BE+CF>34AB+BC+AC.

Vậy (I) đúng.

• Ta xét (II):

Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.

Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:

DA = DA’ (theo cách dựng);

ADB^=A'DC^ (hai góc đối đỉnh);

BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC)

Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).

Suy ra AB = A’C (hai cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.

Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).

Chứng minh tương tự, ta được:

2BE < AB + BC (5).

2CF < AC + BC (6).

Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được:

2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.

Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).

Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.

Vậy (II) đúng.

Kết luận: cả (I) và (II) đều đúng.

Ta chọn phương án C.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho ΔABC có đường trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho BG=23BM và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm CK; GE cắt AC tại I. Số thích hợp để điền vào chỗ trống CI = … AC là:

Xem đáp án » 26/01/2024 127

Câu 2:

Cho tam giác ΔABC có đường trung tuyến AD, trên đoạn thẳng AD lấy điểm E và F sao cho AE = EF = FD. Điểm F là:

Xem đáp án » 26/01/2024 118

Câu 3:

Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Đoạn thẳng AM, AN cắt BD lần lượt tại I và K. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 26/01/2024 118

Câu 4:

Cho ∆ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM = 2MC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Gọi E là giao điểm của AM và BD. Khi đó điểm M là

Xem đáp án » 26/01/2024 86

Câu 5:

Cho ΔABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tia AG cắt BC tại M. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 26/01/2024 82

Câu 6:

Cho tam giác ABC. Vẽ tia Bx // AC (sao cho xBA^ BAC^ là một cặp góc so le trong).Lấy điểm D Bx và điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE. Hai tam giác nào sau đây có cùng trọng tâm?

Xem đáp án » 26/01/2024 81

Câu 7:

Cho tam giác ABC, trên đường trung tuyến AD. Gọi G là điểm nằm giữa A và D sao cho AGAD=23. Tia BG cắt AC tại E, tia CG cắt AB tại F. Khẳng định nào sau đây sai?

Xem đáp án » 26/01/2024 76

Câu 8:

Cho hình vẽ như bên dưới. Biết AM = 12 cm.

Cho hình vẽ như bên dưới. Biết AM = 12 cm.    Độ dài của đoạn thẳng AG là (ảnh 1)

Độ dài của đoạn thẳng AG là

Xem đáp án » 26/01/2024 76

Câu 9:

Cho ΔABC có đường trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho BG=23BM và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm của CK, GE cắt AC tại I. Điểm I là trọng tâm của tam giác nào?

Xem đáp án » 26/01/2024 59

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »