Đáp án đúng là D

+) Xét tam giác ABC, có:

M là trung điểm AB

N là trung điểm của AC

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ MN // BC và MN = $\frac{1}{2}$BC

Mà BP = PC = $\frac{1}{2}$BC (P là trung điểm của BC)

⇒ MN = CP = PB (1)

Vì MN // BC nên MN // CP. Khi đó $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {PC}$ cùng phương. Suy ra $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {PC}$ cùng hướng (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow {MN}$ = $\overrightarrow {CP}$. Do đó đáp án A đúng.

Tương tự MN //BC hay MN // PB. Khi đó $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {PB}$ cùng phương nhưng ngược hướng (3)

Từ (1) và (3) suy ra $\overrightarrow {MN}$ không bằng $\overrightarrow {PB}$. Do đó đáp án D sai.

+) Ta có $\overrightarrow {AA}$ và $\overrightarrow {PP}$ là các vectơ – không.

Mà mọi vectơ – không có cùng độ dài và cùng hướng nên bằng nhau

Suy ra $\overrightarrow {AA}$ cùng hướng với $\overrightarrow {PP}$. Do đó đáp án B đúng.

+) Hai vec tơ $\overrightarrow {AM}$ và $\overrightarrow {MB}$ cùng hướng

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB

Suy ra $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MB}$. Do đó đáp án C đúng.

Đáp án đúng là D

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD nên $\overrightarrow {BA}$ và $\overrightarrow {CD}$ cùng phương. Do đó $\overrightarrow {BA}$ và $\overrightarrow {CD}$ cùng hướng.

Mặt khác AB = CD (tính chất hình bình hành)

Suy ra $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$.

Đáp án đúng là B

Ta có $\overrightarrow {MN} \left( { - 1; - 4} \right)$. Gọi tọa độ điểm cần tìm là F(x; y).

Khi đó $\overrightarrow {MF} \left( {x - 3;y + 1} \right)$

Để M, N, F thẳng hàng khi $\overrightarrow {MF}$ cùng phương với $\overrightarrow {MN}$ hay $\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}}$

⇔ y + 1 = 4(x – 3)

⇔ y= 4x – 12 (1)

+) Xét tọa độ P có x = 0 và y = 13 thay vào (1) ta được 13 = 4.0 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại P.

+) Xét tọa độ Q có x = 1 và y = -9 thay vào (1) ta được -8 = 4.1 – 12 là mệnh đề đúng. Do đó Q thỏa mãn.

+) Xét tọa độ H có x = 2 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.2 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

+) Xét tọa độ K có x = 3 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.3 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

Vậy M, N, Q thẳng hàng.

Đáp án đúng là C

Đáp án đúng là D

Đáp án đúng là A

Vectơ có điểm đầu là P và điểm cuối là Q được kí hiệu là $\overrightarrow {PQ}$.

Đáp án đúng là A

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v \ne \overrightarrow 0$ được tính bởi công thức sau:

$\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).$

Vì $\left| {\overrightarrow u } \right| > 0,\left| {\overrightarrow v } \right| > 0$ nên dấu của $\overrightarrow u .\overrightarrow v$ phụ thuộc vào dấu của $c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)$.

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ là một số dương thì $c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) > 0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Đáp án đúng là C

Gọi A’(x’; y’) là vị trí tàu thủy đến sau khi khởi hành 2 giờ.

Khi đó, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}x' = - 3 + 2.2\\y' = 2 + 2.5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 1\\y' = 12\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {1;12} \right)$

Vậy sau khi khởi hành 2 giờ thì tàu thủy đến được vị trí A’(1; 12).

Đáp án đúng là D

+) Trọng tâm tam giác ABD là: $\left( {\frac{{11 + 4 + 7}}{3};\frac{{ - 2 + 10 + 6}}{3}} \right) = \left( {\frac{{22}}{3};\frac{{14}}{3}} \right)$;

+) Trọng tâm tam giác ABC là: $\left( {\frac{{11 + 4 + \left( { - 2} \right)}}{3};\frac{{ - 2 + 10 + 2}}{3}} \right) = \left( {\frac{{13}}{3};\frac{{10}}{3}} \right)$;

+) Trọng tâm tam giác ACD là: $\left( {\frac{{11 + \left( { - 2} \right) + 7}}{3};\frac{{ - 2 + 2 + 6}}{3}} \right) = \left( {\frac{{16}}{3};2} \right)$;

+) Trọng tâm tam giác BCD là: $\left( {\frac{{4 + \left( { - 2} \right) + 7}}{3};\frac{{10 + 2 + 6}}{3}} \right)$ = (3; 6).

Vậy G là trọng tâm tam giác BCD.

Đáp án đúng là A

Đáp án đúng là A

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow z$ và $\overrightarrow {\rm{w}}$ ta có: $\frac{{ - \frac{2}{5}}}{4} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{ - 2}}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow z$ và $\overrightarrow {\rm{w}}$ cùng phương.

Các cặp vectơ còn lại không cùng phương, thật vậy

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow y$ và $\overrightarrow z$ ta có: $\frac{2}{{ - \frac{2}{5}}} \ne \frac{{ - \frac{1}{3}}}{{\frac{1}{5}}}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow y$ và $\overrightarrow z$ không cùng phương.

Vì cặp vectơ $\overrightarrow z$ và $\overrightarrow {\rm{w}}$ cùng phương nên cặp vectơ $\overrightarrow y$ và $\overrightarrow {\rm{w}}$ không cùng phương.

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow y$ và $\overrightarrow x$ ta có: $\frac{2}{{ - 1}} \ne \frac{{ - \frac{1}{3}}}{3}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow y$ và $\overrightarrow x$ không cùng phương.

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow x$ và $\overrightarrow z$ ta có: $\frac{{ - 1}}{{ - \frac{2}{5}}} \ne \frac{3}{{\frac{1}{5}}}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow x$ và $\overrightarrow z$ không cùng phương.

Vì cặp vectơ $\overrightarrow z$ và $\overrightarrow {\rm{w}}$ cùng phương nên cặp vectơ $\overrightarrow x$ và $\overrightarrow {\rm{w}}$ không cùng phương.

Vậy chỉ có duy nhất một cặp vectơ cùng phương

Đáp án đúng là D

Các vectơ (khác vectơ không) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C là: $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} .$

Vậy tổng có 6 vectơ.

Đáp án đúng là B

Hai vectơ ngược hướng thì cùng phương.

Đáp án đúng là B

Vectơ - không cùng hướng với mọi vectơ nên cùng phương với mọi vectơ.

Mà có vô số vec tơ – không. Do đó B đúng.

Đáp án đúng là A

Quan sát hình vẽ ta thấy:

Các cặp vectơ không cùng phương là: $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow d$, $\overrightarrow b$ và $\overrightarrow d$, $\overrightarrow c$ và $\overrightarrow d$.

Vậy có tất cả 3 cặp vectơ không cùng phương.

Đáp án đúng là D

Ta có $\overrightarrow u = - 5\overrightarrow i + 6\overrightarrow j .$ Khi đó toạ độ của $\overrightarrow u$ là $\overrightarrow u$(-5; 6).

Đáp án đúng là C

Ta có $\overrightarrow {BC}$ = (3 – 1; -1 – 2) = (2; -3).

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .$

Đáp án đúng là A

Ta có hai vecto $\overrightarrow {OA} \left( {2;1} \right),\overrightarrow {OB} \left( {3;3} \right)$ không cùng phương (vì $\frac{2}{3} \ne \frac{1}{3}$). Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.

Suy ra các điểm O, A, B không thẳng hàng

Để OABM là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {MB}$

Ta có: $\overrightarrow {OA} \left( {2;1} \right),\overrightarrow {MB} \left( {3 - x;3 - y} \right)$ nên

$\left\{ \begin{array}{l}2 = 3 - x\\1 = 3 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;2} \right).$

Vậy điểm cần tìm là M(1;2).

Đáp án đúng là B

Ta có M(1;3) $\Rightarrow \overrightarrow {OM} \left( {1;3} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} .$

Ta lại có N(4;2) $\Rightarrow \overrightarrow {ON} \left( {4;2} \right) \Rightarrow ON = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 .$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \left( { - 3;1} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {10}$

Xét tam giác OMN, có: $OM = MN = \sqrt {10}$ nên tam giác OMN cân tại M.

Ta có: $O{N^2} = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} = 20,$$O{M^2} + M{N^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} = 20$

$\Rightarrow O{N^2} = O{M^2} + M{N^2}$

Theo định lí Py – ta – go đảo suy ra tam giác OMN vuông tại O.

Do đó tam giác OMN vuông cân tại M.

Đáp án đúng là C

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + x{ & _C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + y{ & _C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccccc}x{ & _C} = 3.{x_G} - \left( {{x_A} + {x_B}} \right) = 3.( - 3) - (1 + 2) = - 12\\y{ & _C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}) = 3.2 - \left( {3 + 4} \right) = - 1\end{array} \right.$

⇒ G(-12; -1).

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( {0 - ( - 3x); - 2 + y - ( - 1)} \right) = \left( {3x; - 1 + y} \right)$

Để $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 4\\ - 1 + y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\y = 0\end{array} \right.$.

Vậy x = $\frac{4}{3}$, y = 0.

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow {AC} = \left( {\frac{2}{3} - \left( {k - \frac{1}{3}} \right);k - 2 - 5} \right) = \left( {1 - k;k - 7} \right)$,

$\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{2}{3} - \left( { - 2} \right);k - 2 - 12} \right) = \left( {\frac{8}{3};k - 14} \right)$

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng khi $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{{1 - k}}{{\frac{8}{3}}} = \frac{{k - 7}}{{k - 14}}$

⇔ (1 – k)(k – 14) = $\frac{8}{3}$(k – 7)

⇔ - k² + 15k – 14 = $\frac{8}{3}$k – $\frac{{56}}{3}$

⇔ - 3k² + 45k – 42 = 8k – 56

⇔ 3k² – 37k – 14 = 0

⇔ k₁ ≈ 12,7 hoặc k₂ ≈ -0,37.

Ta thấy k₁ là giá trị dương nằm trong khoảng (12; 14).

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1 = - 1 + \left( { - 1} \right) = - 2 \ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ không vuông góc với nhau. Do đó A sai.

Ta có: $\overrightarrow n .\overrightarrow k = 1.2 + 1.0 = 2 + 0 = 2 \ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow n ,\overrightarrow k$ không vuông góc. Do đó B sai.

Ta có: $\overrightarrow u .\overrightarrow v = 2.4 + 3.6 = 8 + 18 = 26 \ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ không vuông góc. Do đó C sai.

Ta có: $\overrightarrow z .\overrightarrow t = a.\left( { - b} \right) + b.a = - ab + ab = 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow z ,\overrightarrow t$ vuông góc với nhau. Do đó D đúng.

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).0 = 1,\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} = 1.$

$\Rightarrow cos\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 45^\circ .$

Vậy góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$là 45°.

Đáp án đúng là B

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a, BD = AC = a$\sqrt 2$.

Ta có $\overrightarrow {AB} \left( {a;\,\,0} \right)$, $\overrightarrow {BD} \left( { - a;\,\,a} \right)$, $\overrightarrow {AC} \left( {a;\,\,a} \right)$, $\overrightarrow {BC} \left( {0;\,\,a} \right)$, $\overrightarrow {BA} \left( { - a;\,\,0} \right)$.

Khi đó:

+) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = a.\left( { - a} \right) + 0.a = - {a^2}$

$\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{ - {a^2}}}{{a.a\sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {135^0}.$ Do đó A sai.

+) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}$ = a.0 + a.a = a²

$\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{{a^2}}}{{a.a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {45^0}.$ Do đó B đúng

+) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = a.\left( { - a} \right) + a.a = 0$. Do đó C sai.

+) $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}$ = -a.(-a) + 0.a = a². Do đó D sai.

Đáp án đúng là C

Hai vec tơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ vuông góc khi $\overrightarrow a$.$\overrightarrow b$= 0.

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {2x;3{x^2} - 3} \right)$.

Khi đó: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ = 1.2x + 1.(3x² – 3) = 3x² + 2x – 3

Mà $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ = 2 nên 3x² + 2x – 3 = 2

⇔ 3x² + 2x – 5 = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - \frac{5}{3}\end{array} \right.$

Tổng hai nghiệm là 1 + $\left( { - \frac{5}{3}} \right)$ = $\frac{3}{3} + \left( { - \frac{5}{3}} \right) = - \frac{2}{3}.$

Vậy tổng hai nghiệm là $- \frac{2}{3}.$

Đáp án đúng là A

Độ dài của vectơ $\overrightarrow u$ là $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( {3x - 3} \right)}^2}} = \sqrt {4 + {{\left( {3x - 3} \right)}^2}}$.

Độ dài của vectơ $\overrightarrow v$ là $\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5$.

Suy ra độ dài của vectơ 2$\overrightarrow v$ là 2$\left| {\overrightarrow v } \right| = 2.\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$.

Để $\left| {\overrightarrow u } \right|$ = 2$\left| {\overrightarrow v } \right|$ thì$\sqrt {4 + {{\left( {3x - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$

⇔ 4 + (3x – 3)² = 20

⇔ (3x – 3)² = 16

⇔ $\left[ \begin{array}{l}3x + 3 = 4\\3x + 3 = - 4\end{array} \right.$

⇔ $\left[ \begin{array}{l}3x = 1\\3x = - 7\end{array} \right.$

⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = - \frac{7}{3}\end{array} \right.$

Ta thấy các giá trị $\frac{1}{3}$ hay $- \frac{7}{3}$ đều không là các giá trị nguyên. Do đó không tồn tại giá trị nguyên nào của x thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Đáp án đúng là B

Ta có $\overrightarrow {MN} \left( { - 1; - 4} \right)$. Gọi tọa độ điểm cần tìm là F(x; y).

Khi đó $\overrightarrow {MF} \left( {x - 3;y + 1} \right)$

Để M, N, F thẳng hàng khi $\overrightarrow {MF}$ cùng phương với $\overrightarrow {MN}$ hay $\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}}$

⇔ y + 1 = 4(x – 3)

⇔ y= 4x – 12 (1)

+) Xét tọa độ P có x = 0 và y = 13 thay vào (1) ta được 13 = 4.0 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại P.

+) Xét tọa độ Q có x = 1 và y = -9 thay vào (1) ta được -8 = 4.1 – 12 là mệnh đề đúng. Do đó Q thỏa mãn.

+) Xét tọa độ H có x = 2 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.2 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

+) Xét tọa độ K có x = 3 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.3 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

Vậy M, N, Q thẳng hàng.