Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1 = - 1 + \left( { - 1} \right) = - 2 \ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ không vuông góc với nhau. Do đó A sai.

Ta có: $\overrightarrow n .\overrightarrow k = 1.2 + 1.0 = 2 + 0 = 2 \ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow n ,\overrightarrow k$ không vuông góc. Do đó B sai.

Ta có: $\overrightarrow u .\overrightarrow v = 2.4 + 3.6 = 8 + 18 = 26 \ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ không vuông góc. Do đó C sai.

Ta có: $\overrightarrow z .\overrightarrow t = a.\left( { - b} \right) + b.a = - ab + ab = 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow z ,\overrightarrow t$ vuông góc với nhau. Do đó D đúng.

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).0 = 1,\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} = 1.$

$\Rightarrow cos\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 45^\circ .$

Vậy góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$là 45°.

Đáp án đúng là B

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a, BD = AC = a$\sqrt 2$.

Ta có $\overrightarrow {AB} \left( {a;\,\,0} \right)$, $\overrightarrow {BD} \left( { - a;\,\,a} \right)$, $\overrightarrow {AC} \left( {a;\,\,a} \right)$, $\overrightarrow {BC} \left( {0;\,\,a} \right)$, $\overrightarrow {BA} \left( { - a;\,\,0} \right)$.

Khi đó:

+) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = a.\left( { - a} \right) + 0.a = - {a^2}$

$\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{ - {a^2}}}{{a.a\sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {135^0}.$ Do đó A sai.

+) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}$ = a.0 + a.a = a²

$\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{{a^2}}}{{a.a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {45^0}.$ Do đó B đúng

+) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = a.\left( { - a} \right) + a.a = 0$. Do đó C sai.

+) $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}$ = -a.(-a) + 0.a = a². Do đó D sai.

Đáp án đúng là C

Hai vec tơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ vuông góc khi $\overrightarrow a$.$\overrightarrow b$= 0.

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {2x;3{x^2} - 3} \right)$.

Khi đó: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ = 1.2x + 1.(3x² – 3) = 3x² + 2x – 3

Mà $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ = 2 nên 3x² + 2x – 3 = 2

⇔ 3x² + 2x – 5 = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - \frac{5}{3}\end{array} \right.$

Tổng hai nghiệm là 1 + $\left( { - \frac{5}{3}} \right)$ = $\frac{3}{3} + \left( { - \frac{5}{3}} \right) = - \frac{2}{3}.$

Vậy tổng hai nghiệm là $- \frac{2}{3}.$

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v \ne \overrightarrow 0$ được tính bởi công thức sau:

$\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).$

Vì $\left| {\overrightarrow u } \right| > 0,\left| {\overrightarrow v } \right| > 0$ nên dấu của $\overrightarrow u .\overrightarrow v$ phụ thuộc vào dấu của $c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)$.

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ là một số dương thì $c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) > 0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)$

$\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right)^2} = {\left[ {\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)} \right]^2} = {\overrightarrow u ^2}.{\overrightarrow v ^2}.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)$

Để ${\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right)^2} = {\overrightarrow u ^2}.{\overrightarrow v ^2}$ thì $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 1\\c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {0^0}\\\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {180^0}\end{array} \right.$

Vậy khi góc giữa hai vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ là 0⁰ hoặc 180⁰ thì ${\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right)^2} = {\overrightarrow u ^2}.{\overrightarrow v ^2}.$

Đáp án đúng là D

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $k = \overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.\sqrt 7 + \left( { - 3} \right).\left( { - 2} \right) = \sqrt 7 + 6.$

Do đó k là số vô tỉ.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + 1.4 = 10$

$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} ,\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5$

 $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .2\sqrt 5 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^0}.$

Đáp án đúng là C

Vì I là trung điểm của AB nên ta có: $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$ hay $\overrightarrow {IB} = - \overrightarrow {IA}$.

Xét $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)$

$= {\overrightarrow {MI} ^2} + \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IA}$

$= {\overrightarrow {MI} ^2} + \overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IA} } \right) + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IA}$

$= {\overrightarrow {MI} ^2} + \left( { - \overrightarrow {IA} } \right).\overrightarrow {IA}$

$= {\overrightarrow {MI} ^2} - {\overrightarrow {IA} ^2}$

$= M{I^2} - I{A^2}$.

Đáp án đúng là C

Ta có:

$\overrightarrow {AB} = \left( {9; - 3} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{9^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt {10} .$

$\overrightarrow {AC} \left( {9;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{9^2} + {6^2}} = 3\sqrt {13} .$

$\overrightarrow {BC} \left( {0;9} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{0^2} + {9^2}} = 9.$

Ta lại có:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\widehat {BAC}$

$\Leftrightarrow 9.9 + \left( { - 3} \right).6 = 3\sqrt {10} .3\sqrt {13} .cos\widehat {BAC}$

$\Leftrightarrow 63 = 9\sqrt {130} .cos\widehat {BAC}$

$\Leftrightarrow cos\widehat {BAC} = \frac{7}{{\sqrt {130} }} \Leftrightarrow \widehat {BAC} \approx 52,13^\circ .$

Áp dụng định lí Sin trong tam giác ta được:

$\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R \Leftrightarrow \frac{9}{{\sin 52,13^\circ }} = 2R \Leftrightarrow R \approx 5,7$.

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)$

Để $\overrightarrow u .\overrightarrow v = - \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|$ thì $\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {180^0}$

Suy ra $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ là hai vectơ ngược hướng.

Đáp án đúng là D

Gọi M có tọa độ M(0; m).

Vì M thuộc tia Oy nên m ≥ 0.

Ta có: $\overrightarrow {AM} \left( { - 1;m + 3} \right),\overrightarrow {BM} \left( { - 5;m - 2} \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = \left( { - 1} \right).\left( { - 5} \right) + \left( {m + 3} \right).\left( {m - 2} \right) = {m^2} + m - 1.$

Để $\widehat {AMB} = {90^0}$ thì $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0$

$\Leftrightarrow {m^2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\m = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$

Ta thấy $m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$ (thỏa mãn) và $m = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}$ (không thỏa mãn)

Vậy $M\left( {0;\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là A

$M{A^2} + {\rm{ }}M{B^2} + {\rm{ }}M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}$

$= {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}$

$= {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + {\overrightarrow {GC} ^2}$

$= 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}$

Ta có: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$ (tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0 = 0$

$\Rightarrow M{A^2} + {\rm{ }}M{B^2} + {\rm{ }}M{C^2} = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}.$

Đáp án đúng là C

Gọi trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x;y)

Khi đó, ta có: $\overrightarrow {AH} \left( {x + 3;y - 1} \right);\overrightarrow {BC} \left( {0; - 6} \right);\overrightarrow {BH} \left( {x - 2;y - 4} \right);\overrightarrow {AC} \left( {5; - 3} \right)$

Vì $AH \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right).0 + \left( {y - 1} \right).\left( { - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 1.$

Vì $BH \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right).5 + \left( {y - 4} \right).\left( { - 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 5x - 10 - 3y + 12 = 0$

$\Leftrightarrow 5x - 3y = - 2$

Mà y = 1 $\Rightarrow 5x - 3.1 = - 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}.$

Suy ra S = 5.$\frac{1}{5}$ + 1 = 2.