Giải SGK Toán 8 (Cánh Diều) Bài tập cuối chương 5

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài tập cuối chương 5

Bài 1 trang 120 Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có $\widehat{A}=60°,\widehat{B}=70°,\widehat{C}=80°$. Khi đó, $\widehat{D}$ bằng

A. 130°.

B. 140°.

C. 150°.

D. 160°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo định lí tổng các góc của một tứ giác ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$.

Suy ra $\widehat{D}=360°-\widehat{A}-\widehat{B}-\widehat{C}=360°-60°-70°-80°=150°$.

Bài 2 trang 120 Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, $\widehat{A}=80°$. Khi đó, $\widehat{C}$ bằng

A. 80°.

B. 90°.

C. 100°.

D. 110°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hình thang cân ABCD có AB // CD nên $\widehat{A}=\widehat{B},\widehat{D}=\widehat{C}$.

Theo định lí tổng các góc của một tứ giác ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$

Suy ra $2\widehat{A}+2\widehat{C}=360°$ hay $2\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)=360°$

Do đó $\widehat{A}+\widehat{C}=180°$ nên $\widehat{C}=180°-\widehat{A}=180°-80°=100°$.

Bài 3 trang 120 Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành MNPQ có các góc khác 90°, MP cắt NQ tại I. Khi đó

A. IM = IN.

B. IM = IP.

C. IM = IQ.

D. IM = MP.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MP cắt NQ tại I nên I là trung điểm của mỗi đường.

Do I là trung điểm của MP nên IM = IP.

Bài 4 trang 120 Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật MNPQ. Đoạn thẳng MP bằng đoạn thẳng nào sau đây?

A. NQ.

B. MN.

C. NP.

D. QM.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Do MNPQ là hình chữ nhật nên MP = NQ (hai đường chéo bằng nhau).

Bài 5 trang 120 Toán 8 Tập 1: Hình 72 mô tả một cây cao 4 m. Biết rằng khi trời nắng, cây đổ bóng trên mặt đất, điểm xa nhất của bóng cây cách gốc cây một khoảng là 3 m. Tính khoảng cách từ điểm xa nhất của bóng cây đến đỉnh 4 m của cây.

Lời giải:

Giả sử Hình 72 được mô tả bởi tam giác ABC vuông tại A có các kích thước như hình vẽ dưới đây:

Yêu cầu bài toán trở thành tìm độ dài cạnh BC.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25

Do đó BC = 5 (m).

Vậy khoảng cách từ điểm xa nhất của bóng cây đến đỉnh của cây là 5 m.

Bài 6 trang 120 Toán 8 Tập 1: Màn hình một chiếc ti vi có dạng hình chữ nhật với kích thước màn hình ti vi được tính bằng độ dài đường chéo của màn hình (đơn vị: inch, trong đó 1 inch = 2,54 cm). Người ta đưa ra công thức tính khoảng cách an toàn khi xem ti vi để giúp khách chọn được chiếc ti vi phù hợp với căn phòng hàng của mình như sau:

    Khoảng cách tối thiểu = 5,08 . d (cm);

Khoảng cách tối đa = 7,62 . d (cm).

Trong đó, d là kích thước màn hình ti vi tính theo inch.

Với một chiếc ti vi có chiều dài màn hình là 74,7 cm; chiều rộng màn hình là 32 cm:

a) Kích thước màn hình của chiếc ti vi đó là bao nhiêu inch (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

b) Khoảng cách tối thiểu và khoảng cách tối đa để xem chiếc ti vi đó là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Màn hình chiếc ti vi được mô tả như hình vẽ trên với chiều dài màn hình là AC = 74,7 cm; chiều rộng màn hình là AB = 32 cm.

a) Do màn hình ti vi có dạng hình chữ nhật nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có kích thước màn hình của chiếc ti vi đó là:

$d=BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{{\mathrm{74,7}}^2+{32}^2}\approx \mathrm{81,27}\left(cm\right)$

                                                              $=\frac{\mathrm{81,27}}{\mathrm{2,54}}\left(inch\right)\approx 32\left(inch\right)$.

b) Khoảng cách tối thiểu để xem chiếc ti vi đó là:

5,08 . 32 = 162,56 (cm) ≈ 1,6 (m).

Khoảng cách tối đa để xem chiếc ti vi đó là:

7,62 . 32 = 243,84 ≈ 2,4 (m).

Bài 7 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có $\widehat{DAB}=\widehat{BCD},\widehat{ABD}=\widehat{CDB}$. Chứng minh ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Ta có $\widehat{ABD}=\widehat{CDB}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Từ AB // CD, suy ra $\left\{\begin{array}{l}\widehat{CDA}+\widehat{DAB}=180°\\ \widehat{ABC}+\widehat{BCD}=180°\end{array}\right.$ (các cặp góc trong cùng phía)

Lại có $\widehat{DAB}=\widehat{BCD}$ nên $\widehat{CDA}=\widehat{ABC}$.

Xét tứ giác ABCD có $\widehat{DAB}=\widehat{BCD}$ (giả thiết) và $\widehat{CDA}=\widehat{ABC}$ (chứng minh trên)

Suy ra ABCD là hình bình hành (các cặp góc đối bằng nhau).

Bài 8 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

Lời giải:

• Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD và AD = BC.

Vì M là trung điểm của AB nên $MA=MB=\frac{1}{2}AB$;

      N là trung điểm của CD nên $PC=PD=\frac{1}{2}CD$

Do đó MA = MB = PC = PD.

Tương tự ta cũng có QA = QD = NB = NC.

• Xét ΔAMQ và ΔBMN có:

$\widehat{MAQ}=\widehat{MBN}=90°$ (do ABCD là hình chữ nhật);

MA = MB (chứng minh trên);

QA = NB (chứng minh trên)

Do đó ΔAMQ = ΔBMN (hai cạnh góc vuông)

Suy ra MQ = MN (hai cạnh tương ứng)      (1)

Chứng minh tương tự, ta có:

+) ΔBMN = ΔCPN (hai cạnh góc vuông)

Suy ra MN = PN (hai cạnh tương ứng)      (2)

+) ΔCPN = ΔDPQ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra PN = PQ (hai cạnh tương ứng)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = PN = PQ = MQ.

• Tứ giác MNPQ có MN = PN = PQ = MQ nên là hình thoi.

Bài 9 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lần lượt lấy các điểm D, G sao cho AD = CG < AC. Từ điểm D kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AB). Chứng minh tứ giác CDEG là hình chữ nhật.

Lời giải:

Vì ΔABC vuông cân tại C (giả thiết) nên $\widehat{A}=\widehat{B}=45°$.

Xét ΔADE vuông tại D (do DE ⊥ AC) có:

$\widehat{DAE}+\widehat{DEA}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra $\widehat{DEA}=90°-\widehat{DAE}=90°-45°=45°$

ΔADE vuông tại D có $\widehat{DAE}=\widehat{DEA}$ (cùng bằng 45°) nên là tam giác vuông cân tại D

Do đó AD = ED.

Mà AD = CG nên ED = CG.

Xét tứ giác CDEG có:

• ED = CG (chứng minh trên);

• ED // CG (do cùng vuông góc với AC)

Do đó CDEG là hình bình hành

Lại có $\widehat{CDE}=90°$

  Suy ra CDEG là hình chữ nhật.

Bài 10 trang 121 Toán 8 Tập 1:Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ < AB. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

Lời giải:

• Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Mà AM = BN = CP = DQ

Suy ra AB – AM = BC – BN = CD – CP = DA – DQ

Hay MB = NC = PD = QA

• Xét ΔAMQ và ΔBNM có:

$\widehat{MAQ}=\widehat{NBM}=90°$;

AM = BN (giả thiết);

QA = MB (chứng minh trên)

Do đó ΔAMQ = ΔBNM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra QM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có: MN = NP và NP = PQ.

Khi đó MN = NP = PQ = QM.

• Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

• Do ΔAMQ = ΔBNM (chứng minh trên) nên $\widehat{AMQ}=\widehat{BNM}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{BNM}+\widehat{BMN}=90°$ (do ΔBMN vuông tại B)

Suy ra $\widehat{AMQ}+\widehat{BMN}=90°$

Lại có $\widehat{AMQ}+\widehat{QMN}+\widehat{BMN}=180°$

Suy ra $\widehat{QMN}=180°-\left(\widehat{AMQ}+\widehat{BMN}\right)=180°-90°=90°$.

• Hình thoi MNPQ có $\widehat{QMN}=90°$ nên là hình vuông.

Bài 11 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là điểm nằm giữa A và B, N là điểm nằm giữa C và D sao cho AM = CN. Gọi I là giao điểm của MN và AC. Chứng minh:

a) ΔIAM = ΔICN;

b) Tứ giác AMCN là hình bình hành;

c) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{CNM}$ và $\widehat{MAC}=\widehat{NCM}$ (các cặp góc so le trong)

Xét ΔIAM và ΔICN có:

$\widehat{AMI}=\widehat{CNI}$ (do $\widehat{AMN}=\widehat{CNM}$);

AM = CN (giả thiết);

$\widehat{MAI}=\widehat{NCI}$ (do $\widehat{MAC}=\widehat{NCM}$)

Do đó ΔIAM = ΔICN (g.c.g)

b) Xét tứ giác AMCN có AM = CN (giả thiết) và AM // CN (do AB // CD)

Suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Do AMCN là hình bình hành nên hai đường chéo AC, MN cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD.

Do đó ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Bài 12 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD và hình bình hành BCMD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a) $OD=\frac{1}{2}CM$ và tam giác ACM là tam giác vuông;

b) Ba điểm A, D, M thẳng hàng;

c) Tam giác DCM là tam giác cân.

Lời giải:

a) • Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra $OD=\frac{1}{2}BD$.

Do BCMD là hình bình hành nên BD = CM.

Do đó $OD=\frac{1}{2}CM$.

• Ta có: CM // BD (do BCMD là hình bình hành)

              AC ⊥ BD (chứng minh trên)

Do đó CM ⊥ AC hay $\widehat{MCA}=90°$

Vây tam giác ACM là tam giác vuông.

b) Vì ABCD là hình thoi nên AD // BC

Vì BCMD là hình bình hành nên DM // BC

Do đó qua điểm D có hai đường thẳng AD và DM cùng song song với đường thẳng BC nên AD trùng với DM (Tiên đề Euclid)

Hay ba điểm A, D, M thẳng hàng.

c) Ta có: BD // CM (chứng minh câu a) nên:

• $\widehat{BDC}=\widehat{DCM}$ (so le trong);   (1)

• $\widehat{ADB}=\widehat{DMC}$ (đồng vị)         (2)

Do ABCD là hình thoi nên DB là tia phân giác của góc ADC

Do đó $\widehat{ADB}=\widehat{BDC}$                 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{DCM}=\widehat{DMC}$.

Xét ΔDCM có $\widehat{DCM}=\widehat{DMC}$ nên là tam giác cân tại D.

Bài 13 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Gọi O là giao điểm của AM và BN. Chứng minh:

a) ΔABM = ΔBCN;

b) $\widehat{BAO}=\widehat{MBO}$;

c) AM ⊥ BN.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì M là trung điểm của BC nên $MB=MC=\frac{1}{2}BC$;

     N là trung điểm của CD nên $NC=ND=\frac{1}{2}CD$.

Do đó MB = MC = NC = ND.

Xét ΔABM và ΔBCN có:

$\widehat{ABM}=\widehat{BCN}=90°$ (do ABCD là hình vuông);

AB = CD (chứng minh trên);

MB = NC (chứng minh trên)

Do đó ΔABM = ΔBCN (hai cạnh góc vuông).

b) Vì ΔABM = ΔBCN (câu a) nên $\widehat{BAM}=\widehat{CBN}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{BAO}=\widehat{MBO}$.

c) Xét ΔABM vuông tại B có $\widehat{BAO}+\widehat{BMO}=90°$

Mà $\widehat{BAO}=\widehat{MBO}$ (câu b) nên $\widehat{MBO}+\widehat{BMO}=90°$.

Xét ΔMBO có $\widehat{MBO}+\widehat{BMO}+\widehat{BOM}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{BOM}=180°-\left(\widehat{MBO}+\widehat{BMO}\right)=180°-90°=90°$.

Do đó OM ⊥ BO hay AM ⊥ BN.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hình thang cân

Bài 4: Hình bình hành