Cho hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Gọi O là giao điểm của AM và BN

Bài 13 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Gọi O là giao điểm của AM và BN. Chứng minh:

a) ΔABM = ΔBCN;

b) $\widehat{BAO}=\widehat{MBO}$;

c) AM ⊥ BN.

Trả lời

a) Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì M là trung điểm của BC nên $MB=MC=\frac{1}{2}BC$;

     N là trung điểm của CD nên $NC=ND=\frac{1}{2}CD$.

Do đó MB = MC = NC = ND.

Xét ΔABM và ΔBCN có:

$\widehat{ABM}=\widehat{BCN}=90°$ (do ABCD là hình vuông);

AB = CD (chứng minh trên);

MB = NC (chứng minh trên)

Do đó ΔABM = ΔBCN (hai cạnh góc vuông).

b) Vì ΔABM = ΔBCN (câu a) nên $\widehat{BAM}=\widehat{CBN}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{BAO}=\widehat{MBO}$.

c) Xét ΔABM vuông tại B có $\widehat{BAO}+\widehat{BMO}=90°$

Mà $\widehat{BAO}=\widehat{MBO}$ (câu b) nên $\widehat{MBO}+\widehat{BMO}=90°$.

Xét ΔMBO có $\widehat{MBO}+\widehat{BMO}+\widehat{BOM}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{BOM}=180°-\left(\widehat{MBO}+\widehat{BMO}\right)=180°-90°=90°$.

Do đó OM ⊥ BO hay AM ⊥ BN.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hình thang cân

Bài 4: Hình bình hành