Cho hình thoi ABCD và hình bình hành BCMD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh

Bài 12 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD và hình bình hành BCMD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a) $OD=\frac{1}{2}CM$ và tam giác ACM là tam giác vuông;

b) Ba điểm A, D, M thẳng hàng;

c) Tam giác DCM là tam giác cân.

Trả lời

a) • Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra $OD=\frac{1}{2}BD$.

Do BCMD là hình bình hành nên BD = CM.

Do đó $OD=\frac{1}{2}CM$.

• Ta có: CM // BD (do BCMD là hình bình hành)

              AC ⊥ BD (chứng minh trên)

Do đó CM ⊥ AC hay $\widehat{MCA}=90°$

Vây tam giác ACM là tam giác vuông.

b) Vì ABCD là hình thoi nên AD // BC

Vì BCMD là hình bình hành nên DM // BC

Do đó qua điểm D có hai đường thẳng AD và DM cùng song song với đường thẳng BC nên AD trùng với DM (Tiên đề Euclid)

Hay ba điểm A, D, M thẳng hàng.

c) Ta có: BD // CM (chứng minh câu a) nên:

• $\widehat{BDC}=\widehat{DCM}$ (so le trong);   (1)

• $\widehat{ADB}=\widehat{DMC}$ (đồng vị)         (2)

Do ABCD là hình thoi nên DB là tia phân giác của góc ADC

Do đó $\widehat{ADB}=\widehat{BDC}$                 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{DCM}=\widehat{DMC}$.

Xét ΔDCM có $\widehat{DCM}=\widehat{DMC}$ nên là tam giác cân tại D.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hình thang cân

Bài 4: Hình bình hành