Tìm tập giá trị của các hàm số sau: a) 2cos(2x=pi/3)-1

Bài 1.33 trang 41 Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y=2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1$ ;

b) y = sin x + cos x.

Trả lời

a) Ta có: $-1\le \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ với mọi x ∈ ℝ

$\iff -2\le 2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 2$ với mọi x ∈ ℝ

$\iff -2-1\le 2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1\le 2-1$ với mọi x ∈ ℝ

$\iff -3\le 2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1\le 1$ với mọi x ∈ ℝ

⇔ – 3 ≤ y ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ

Vậy tập giá trị của hàm số $y=2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1$ là [– 3; 1].

b) Ta có: sin x + cos x = $\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$

$=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}\sin x+\sin \frac{\pi }{4}\cos x\right)$

$=\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)$

$=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

Khi đó ta có hàm số y $=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ .

Lại có: $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ với mọi x ∈ ℝ

$\iff -\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le \sqrt{2}$ với mọi x ∈ ℝ

$\iff -\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}$ với mọi x ∈ ℝ

Vậy tập giá trị của hàm số y = sin x + cos x là $\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$ .

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1