Giải Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số
Trên thực tế, Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thức toán học nào có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng?
Lời giải:
Giới hạn hữu hạn của hàm số có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng. Trong bài học ngày hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về điều đó.
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị un khi n ngày càng lớn.
b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:
Kể từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?
Lời giải:
a) Khi n ngày càng lớn thì giá trị của un càng giảm dần về 0.
b) Ta có bảng:
n |
1 000 |
1 001 |
... |
10 000 |
10 001 |
... |
|un – 0| |
0,001 |
0,00099... |
... |
0,0001 |
0,000099... |
... |
Kể từ số hạng u1001 trở đi thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,001.
Kể từ số hạng u10 001 trở đi thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,0001.
Luyện tập 1 trang 60 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:
a) lim 0 = 0;
b) lim1√n=0.
Lời giải:
a) Ta có: un = 0 với mọi n ∈ ℕ*
Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:
|un – 0| < ε với mọi n ∈ ℕ*
Vậy lim 0 = 0.
b) Ta có: un = 1√nvới mọi n ∈ ℕ*
Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:
|un – 0| < ε ⇔ .
Chọn N ≥ 1ε2thì với mọi n >N ta có:
Vì vậy lim1√n=0.
Hoạt động 2 trang 60 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un), với un = 2 + 1n. Tính limn→+∞(un−2).
Lời giải:
Ta có: un – 2 = 2 + 1n– 2 = 1n
Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:
|un – 0| < ε ⇔ .
Chọn N ≥ 1εthì với mọi n > N ta có:
Vì vậy lim(un-2) = 0.
Luyện tập 3 trang 62 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng: lim(eπ)n = 0.
Lời giải:
Ta có eπ< 1do đó lim(eπ)n = 0.
II. Định lí về giới hạn hữu hạn
Hoạt động 3 trang 62 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (un), (vn) với un = 8+1n; vn = 4-2n.
a) Tính limun, limvn.
b) Tính lim(un + vn) và so sánh giá trị đó với tổng limun + limvn.
c) Tính lim(un.vn) và so sánh giá trị đó với tổng limun.limvn.
Lời giải:
a) Ta có: lim(un-8) = lim(8+1n−8) = 0.
Do đó limun = 8.
Ta có: lim(vn-4) = lim(4−2n−4) = 0.
Do đó limvn = 4.
b) limun + limvn = 8 + 4 = 12.
Ta có: un + vn = 8+1n+4-2n = 12-1n
Ta lại có: lim(un+vn-12) = lim(12−1n−12) = 0.
Suy ra lim(un + vn) = 12.
Vì vậy lim(un + vn) = limun + limvn.
b) Ta có: un.vn = (8+1n)(4−2n)=32−12n−2n2.
Khi đó lim(un.vn – 32) = lim(32−12n−2n2−32)=0.
Ta lại có: limun.limvn = 8.4 = 32.
Vì vậy limun.limvn = lim(unvn).
Luyện tập 4 trang 62 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim8n2+nn2;
b) lim√4+n2n.
Lời giải:
a) lim8n2+nn2=lim(8+1n)=lim8+lim1n=8.
b) lim√4+n2n=lim√4n2+1=√lim(4n2+1)=1.
III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Hoạt động 4 trang 63 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (un), với u1 = 1 và công bội q=12.
a) Hãy so sánh |q| với 1.
b) Tính Sn = u1 + u2 + ... + un. Từ đó, hãy tính limSn.
Lời giải:
a) Ta có: |q| = 12< 1.
b) Ta có: (un) là cấp số nhân lùi vô hạn có tổng n số hạng đầu tiên là:
Sn=1.(1−(12)n)1−12=2(1−(12)n)
limSn=lim2(1−(12)n)=lim2.lim(1−(12)n)=2.
Luyện tập 5 trang 63 Toán 11 Tập 1: Tính tổng M = 1-12+122−...+(−12)n−1+...
Lời giải:
Ta có dãy số 1; −12; 122; ...; (−12)n−1; ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = −12 thỏa mãn |q| < 1.
Do đó ta có: M=1−12+122−...+(−12)n−1+...=11−(−12)=23.
Lời giải:
Giả sử vận tốc của Asin gấp đôi vận tốc của chú rùa và khoảng cách lúc đầu là a.
Khi Asin chạy được a thì chú rùa chạy được a2.
Khi Asin chạy tiếp được a2thì chú rùa chạy được a4.
Do đó tổng quãng đường Asin phải chạy để đuổi kịp chú rùa là:
a+a2+a4+a8+...
Theo lập luận của Asin tổng này là tổng vô hạn nên không bao giờ Asin đuổi kịp chú rùa.
Tuy nhiên các số hạng của tổng này lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = a và công bội q = 12< 1.
Nên ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn bằng:
S=a+a2+a4+a8+...=lima(1−(12)n)1−12=2a.
Vì vậy tổng này là hữu hạn do đó Asin hoàn toàn có thể chạy để đuổi kịp rùa.
IV. Giới hạn vô cực
Lời giải:
Ta có bảng giá trị sau:
n |
1 |
2 |
3 |
... |
100 |
... |
1001 |
un |
1 |
4 |
9 |
... |
10 000 |
... |
1 002 001 |
Từ đó ta có các nhận xét sau:
+) Kể từ số hạng thứ 2 trở đi thì un > 1 .
+) Kể từ số hạng thứ 101 trở đi thì un > 10 000.
...
Vậy ta thấy un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Luyện tập 7 trang 64 Toán 11 Tập 1: Tính lim(– n3).
Lời giải:
Xét dãy số (un) = n3.
Với M là số dương bất kì, ta thấy un = n3 > m ⇔ n > 3√M.
Suy ra với các số tự nhiên n > 3√Mthì un > M. Do đó limn3 = +∞.
Vậy limn3 = – ∞.
Luyện tập 8 trang 64 Toán 11 Tập 1: Chứng tỏ rằng limn−1n2=0.
Lời giải:
Ta có:
Đặt un = n – 1 và vn=1n2, khi đó limun = +∞ và limvn=lim1n2=0.
Vậy limn−1n2=limun.limvn=0.
Bài tập
a) limun, limvn;
b) lim(un + vn), lim(un – vn), lim(un.vn), limunvn.
Lời giải:
a) Ta có:
limun = lim(3 + 1n) = lim3 + lim1n= 3 + 0 = 3.
limvn = lim(5 – 2n2) = lim5 – lim2n2= 5 – 0 = 5.
b) lim(un + vn) = limun + limvn = 3 + 5 = 8.
lim(un – vn) = limun – limvn = 3 – 5 = – 2.
lim(un.vn) = limun.limvn = 3.5 = 15.
limunvn= limunlimvn=35.
Bài 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim5n+12n;
b) lim6n2+8n+15n2+3;
c) lim√n2+5n+36n+2;
d) lim(2−13n);
e) lim3n+2n4.3n;
g) lim2+1n3n.
Lời giải:
a) lim5n+12n = lim(52+12n)=lim52+lim12n=52.
Bài 3 trang 65 Toán 11 Tập 1: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), với u1=23, q=-14.
b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.
Lời giải:
a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), với u1=23, q=-14là:
b) Ta có:
1,(6) = 1 + 0,(6) = 1 + 0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ...
Dãy số 0,6; 0,006; 0,0006; ... lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 0,6 và công bội q = 110có |q| < 1 nên ta có:
0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ... =0,61−110=23.
Suy ra 1,(6) = 1 + 23=53.
a) Tính diện tích Sn của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;
b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.
Lời giải:
a) Gọi Sn là diện tích của hình vuông thứ n.
Ta có: S1 = 1; S2 = 12; S3 = (12)2; ...
Dãy (Sn) lập thành cấp số nhân có số hạng đầu S1 = 1 và công bội q = 12có công thức tổng quát là: Sn = (12)n−1.
b) Ta có: |q|=|12|<1nên dãy (Sn) trên lập thành một cấp số nhân lùi hạn nên ta có:
S = 1+12+(12)2+(12)3+...+(12)n−1+...=11−12=2.
Vậy tổng diện tích của các hình vuông là 2 (đvdt).
(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021).
Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.
a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un).
b) Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn bé lại bé hơn 10– 6 g.
Lời giải:
a) Ta có: u1 = 1; u2 = 12; u3 = (12)2; ...
Suy ra (un) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và q = 12có số hạng tổng quát là: un=(12)n−1.
b) Ta có: limun=lim(12)n−1=0.
c) Đổi un=(12)n−1kg=(12)n−1.103g
Để chất phóng xạ bé hơn 10-6 (g) thì (12)n−1.103<10−6⇔n>31.
Vậy cần ít nhất 30 chu kì tương ứng với 720 000 năm khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người.
Bài 6 trang 65 Toán 11 Tập 1: Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.
C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính AB2.
C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính AB4, ...
Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính AB2n,...(Hình 4).
Gọi Pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB.
a) Tính pn, Sn.
b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
Lời giải:
a)
+) Ta có: p1 = πR2; p2 = πR4=πR22; p3 = πR8=πR23; ...
(pn) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p1 = πR2và công bội q = 12<1 có số hạng tổng quát pn = πR2.(12)n−1.
+) Ta có: C1 = πR24; C2 = πR242; C3 = πR343; ...
(Cn) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu C1 = πR24và công bội q = 14<1có số hạng tổng quát Cn = πR4.(14)n−1.