Giải SGK Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 5. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Mở đầu

Mở đầu trang 33 Toán 10 Tập 1: Bạn đã biết tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn. Đối với góc tù thì sao?

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ trả lời được:

Với góc α cho trước, 0< α < 180o.

Trên nửa đường tròn đơn vị, vẽ điểm M(x0; y0) sao cho xOM^=α.

Bạn đã biết tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn. Đối với góc tù thì sao (ảnh 1)

Khi đó: sinα = y0; cosα = x0;

tanα = y0x0 (x0 ≠ 0); cotα = x0y0 (y≠ 0).

1. Gía trị lượng giác của 1 góc

Giải Toán 10 trang 34 Tập 1

HĐ 1 trang 34 Toán 10 Tập 1:

a) Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

• α = 90o;

• α < 90o;

• α > 90o.

b) Khi 0o < α < 90o, nêu mối quan hệ giữa cos α, sin α với hoành độ và tung độ của điểm M.

Lời giải:

a) Gọi điểm A có tọa độ A(1; 0).

Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp (ảnh 1)

• α = 90o hay AOM^=90o. Khi đó, điểm M có tọa độ M(0;1).

Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp (ảnh 1)

• α < 90o hay AOM^<90o.

Do đó, điểm M(x0; y0) nằm trên cung tròn AC (không tính điểm C) thỏa mãn < x0 ≤ 1, 0 ≤ y0 < 1.

Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp (ảnh 1)

• α > 90o hay AOM^<90o

Do đó, điểm M(x0; y0) nằm trên cung tròn BC (không tính điểm C) thỏa mãn −1 ≤ x0 < 0, 0 ≤ y0 < 1.

b) Khi 0o < α < 90

Kẻ MH ^ Ox, MK ^ Oy (H Î Ox, H Î Oy). Khi đó MOH^=α.

Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp (ảnh 1)

Gọi điểm M có tọa độ M(x0; y0).

Xét tứ giác MKOH có:

HOK^=90o (Ox ^ Oy)

MHO^=90o (MH ^ Ox)

MKO^=90o (MK ^ Oy)

Do đó tứ giác MKOH là hình chữ nhật.

Suy ra OH = |x0| = x0; MH = OK = |y0| = y0.

Ta có OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

Xét ∆MHO vuông tại H, ta có:

sinα=MHOM=y01=y0

Hay sin α = y0.

Ta lại có: cosα=OHOM=x01=x0.

Hay cos α = x0.

Vậy cos α là hoành độ của điểm M và sin α là tung độ của điểm M.

Giải Toán 10 trang 35 Tập 1

Luyện tập 1 trang 35 Toán 10 Tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120o (H.3.4).

Tìm các giá trị lượng giác của góc 120^o (H.3.4) (ảnh 1)

Lời giải:

Tìm các giá trị lượng giác của góc 120^o (H.3.4) (ảnh 1)

Điểm M nằm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=120o.

Hai điểm N, P tương ứng là hình chiếu vuông của M lên hai trục Ox, Oy.

Ta có: OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

Ta có xOM^+NOM^=180o.

NOM^=180oxOM^=180o120o=60o.

Xét tam giác vuông MON, có:

sinMON^=MNOM=MN1=MN

MN=OP=sin60o=32.

cosMON^=ONOM=ON1=ON

ON=cos60o=12.

Ta có điểm M nằm bên trái trục Oy (vì xOM^=120o là góc tù).

Suy ra điểm M có tọa độ là M12;  32.

Do đó theo định nghĩa ta có: sin120° = 32, cos120° = 12.

Suy ra

+  tan120o=sin120ocos120o=32:12

=32.(2)=3.

cot120o=cos120osin120o=12:32

=12.23=13.

2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Giải Toán 10 trang 36 Tập 1

HĐ 2 trang 36 Toán 10 Tập 1: Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M và M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa sin α và sin (180o – α), giữa cos α và cos (180o – α).

Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M và M’ đối với trục Oy (ảnh 1)

Lời giải:

Hai điểm M và M’ đối xứng với nhau qua trục Oy.

Tọa độ của hai điểm M và M’ là: M(x0; y0), M’(–x0; y0).

Ta có: xOM^=α,  xOM'^=180oα.

Khi đó:

∙ sin α = y0, cos α = x0.

∙ sin (180o – α) = y0, cos (180o – α) = –xhay x0 = – cos (180o – α).

Do đó: sin α = sin (180o – α) (= y0), cos α = – cos (180o – α) (= x0).

Vậy sin α = sin (180o – α), cos α = – cos (180o – α).

Luyện tập 2 trang 36 Toán 10 Tập 1Trong Hình 3.6 hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau α và 90o – α  (xOM^=α,  xON^=90oα). Chứng minh rằng ΔMOP = ΔNOQ. Từ đó nêu mối quan hệ giữa cos α và sin (90o – α).

Trong Hình 3.6 hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau (ảnh 1)

Lời giải:

Trong Hình 3.6 hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau (ảnh 1)

Ta có: α=AOM^;  90oα=AON^

Dễ thấy: AON^=  90oα=90oNOB^  α=NOB^.

Xét ∆NOQ và ∆MOP có:

MPO^=NQO^=90o

OM = ON = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

POM^=QON^    AOM^=NOB^=α.

Do đó ΔNOQ = ΔMOP (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra OP = OQ (hai cạnh tương ứng)

Ta có: OP = cos α, OQ = sin (90o – α).

Do đó: cos α = sin (90o − α).

Giải Toán 10 trang 37 Tập 1

Vận dụng trang 37 Toán 10 Tập 1: Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7) (ảnh 1)

Lời giải:

Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều kim đồng hồ.

Gọi M là vị trí thấp nhất của cabin, M’ là vị trí của cabin sau 20 phút và các điểm A, A’, B, H (như hình vẽ).

Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7) (ảnh 1)

Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin sẽ đi quãng đường bằng 23 chu vi đường tròn.

Sau 15 phút, cabin di chuyển từ điểm M đến điểm B, đi được 12 chu vi đường tròn.

Trong 5 phút tiếp theo, cabin đi chuyển từ điểm B đến điểm M’ tương ứng 16 chu vi đường tròn hay 13 cung tròn A'A.

Do đó: BOM'^=13.180o=60o

AOM'^=90o60o=30o

Ta có M'H=sin30o.OM'=12.75=37,5 (m).

Do đó, độ cao của người đó là:

37,5 + 90 = 127,5 (m).

Vậy sau 20 phút quay người đó ở độ cao 127,5 m.

Bài tập

Bài 3.1 trang 37 Toán 10 Tập 1Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) (2sin 30o + cos 135o – 3tan 150o) . (cos 180o – cot 60o);

b) sin90o + cos120o + cos0o – tan60o + cot135o;

c) cos 60. sin 30o + cos30o.

Chú ý: sinα = (sin α)2 , cosα = (cos α)2 , tanα = (tan α)2 , cotα = (cot α)2.

Lời giải:

a) Đặt A = (2sin 30o + cos 135o – 3tan 150o) . (cos 180o – cot 60o).

Ta có: cos 135o = – cos 45o; cos 180o = – cos 0otan 150o =    tan30ocot60° = tan 30°.

 A = (2sin30o – cos 45o + 3tan 30o) . (– cos 0o – tan 30o).

Sử dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

sin30o=12tan30o=33cos45o=22cos 0o = 1.

Do đó A=2.1222+3.33.133

=122+3.1+33

=22+232  .  3+33

=22+23.3+36

=6+23326+63+66

=12+833266.

b) Đặt B = sin90o + cos120o + cos0o – tan60o + cot135o.

Ta có: cos 120o = – cos 60o; cot 135o = – cot 45o

 cos120o = cos60o; cot135o = cot45o

Khi đó B = sin90o + cos60o + cos0o – tan60o + cot45o.

Sử dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

cos 0o = 1; cot 45o = 1; cos60o=12tan60o=3;  sin 90o = 1.

Do đó B=12+122+1232+12

=1+14+13+1=14

c) Đặt C = cos 60. sin 30o + cos30o

Sử dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

sin30o=12cos30o=32cos60o=12.

Do đó C=12.12+322

=14+34=44=1.

Bài 3.2 trang 37 Toán 10 Tập 1Đơn giản các biểu thức sau:

a) sin 100o + sin 80o + cos 16o + cos 164o;

b) 2sin (180o – α) . cot α – cos (180o – α) . tan α . cot (180o – α) với 0o < α < 90o.

Lời giải:

a) Ta có: sin 100o = sin (180o  100o) = sin 80o;

cos 164o = cos (180o  16o) =  cos 16o.

Do đó sin 100o + sin 80o + cos 16o + cos 164o

= sin 80o + sin 80o + cos 16o – cos 16o

2sin 80o.

b) Với 0o < α < 90o, ta có:

sin (180o – α) = sin α; cos (180o – α) = – cos α;

tan (180o – α) = – tan α; cot (180o – α) = – cot α.

Khi đó,

2sin (180o – α) . cot α – cos (180o – α) . tan α . cot (180o – α)

= 2sin α . cot α – (– cos α) . tan α . (– cot α)

= 2sin α . cot α – cos α . tan α . cot α

= 2sin α . cosαsinα – cos α . sinαcosα.cosαsinα

= 2cos α – cos α = cos α.

Bài 3.3 trang 37 Toán 10 Tập 1Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin2 α + cos2 α = 1;

b) 1+tan2α=1cos2α (α ≠ 90o);

c) 21+cot2α=1sin2α (0o < α < 180o).

Lời giải:

a)

Chứng minh các hệ thức sau:  sin^2 α + cos^2 α = 1 (ảnh 1)

Gọi M(x; y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α.

Ta có: OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: x=cosαy=sinαx2=cos2αy2=sin2α (1)

Mà x=ONy=OP=MNx2=x2=ON2y2=y2=MN2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: sin2 α + cos2 α = ON2 + MN2 = OM2 = 1 (do ∆OMN vuông tại N).

Do đó sin2 α + cos2 α = 1 (đpcm).

b) Ta có: tanα=sinαcosα (α ≠ 90o)

1+tan2α=1+sin2αcos2α

=cos2αcos2α+sin2αcos2α=cos2α+sin2αcos2α.

Mà theo câu a) ta có: sin2 α + cos2 α = 1 với mọi góc α.

1+tan2α=1cos2α (đpcm)

c) Ta có: cotα=cosαsinα (0o < α < 180o)

1+cot2α=1+cos2αsin2α

=sin2αsin2α+cos2αsin2α=sin2α+cos2αsin2α.

Mà theo câu a) ta có: sin2 α + cos2 α = 1 với mọi góc α.

1+cot2α=1sin2α (đpcm).

Bài 3.4 trang 37 Toán 10 Tập 1: Cho góc α (0o < α < 180o) thỏa mãn tan α = 3.

Tính giá trị của biểu thức: P=2sinα3cosα3sinα+2cosα.

Lời giải:

Ta có: 1+tan2α=1cos2α (α ≠ 90o)

1cos2α=1+32=10

cos2α=110cosα=±1010.

Vì 0o < α < 180o nên sin α > 0.

Mà tan α = 3 > 0  cos α > 0  cosα=1010.

Lại có: sin α = cos α . tan α = 3.  1010=31010.

Do đó P=2sinα3cosα3sinα+2cosα=2.310103.10103.31010+2.1010

=1010(2.33)1010(3.3+2)=311.

Vậy với α (0o < α < 180o) thỏa mãn tan α = 3 thì P=311.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Câu hỏi liên quan

a) 2sin 80o b) cos α
Xem thêm
Với α (0o < α < 180o) thỏa mãn tan α = 3 thì P=3/11.
Xem thêm
sau 20 phút quay người đó ở độ cao 127,5 m.
Xem thêm
a) • α = 90o điểm M có tọa độ M(0;1). • α < 90o điểm M(x0; y0) nằm trên cung tròn AC (không tính điểm C) thỏa mãn 0 < x0 ≤ 1, 0 ≤ y0 < 1. • α > 90o điểm M(x0; y0) nằm trên cung tròn BC (không tính điểm C) thỏa mãn −1 ≤ x0 < 0, 0 ≤ y0 < 1. b) cos α là hoành độ của điểm M và sin α là tung độ của điểm M.
Xem thêm
sin α = sin (180o – α), cos α = – cos (180o – α).
Xem thêm
ΔNOQ = ΔMOP (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra OP = OQ (hai cạnh tương ứng) Ta có: OP = cos α, OQ = sin (90o – α). Do đó: cos α = sin (90o − α).
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!